Capítulo 9: EL MUNDO MATEM�TICO

NATURALEZA Y USO DE LOS N�MEROS

RELACIONES SIMBÓLICAS

FIGURAS

INCERTIDUMBRE

RACIOCINIO

Capítulo 9: EL MUNDO MATEMÁTICO

NATURALEZA Y USO DE LOS N�MEROS

Hay varias clases de n�meros que en combinaci�n con una l�gica para relacionarse forman sistemas abstractos interesantes y pueden ser �tiles en una variedad de modos diferentes. El concepto antiguo de n�mero posiblemente se origin� en la necesidad de contar cu�ntos objetos hab�a en un conjunto de cosas. As�, los dedos, guijarros en recipientes, signos sobre tablas de barro, muescas en palos y nudos en cuerdas fueron todas formas primitivas de recordar y representar cantidades. En �pocas m�s recientes, durante los �ltimos 2 000 a�os, se han usado distintos sistemas de escritura para representar n�meros. El sistema de numeraci�n ar�bigo, tan com�n en la actualidad, est� basado en 10 s�mbolos (0, 1, 2..., 9) y reglas para combinarlos, en las cuales la posici�n es decisiva (por ejemplo, en 203, el 3 representa tres unidades, el 2 significa dos centenas, y el cero se coloca en el lugar de las decenas, que no existen). En el sistema binario el lenguaje matem�tico de las computadorass�lo dos s�mbolos, O y 1, se pueden combinar en una serie para representar cualquier n�mero. El sistema de numeraci�n romano, el cual se utiliza todav�a para algunos prop�sitos (pero rara vez para calcular), se compone de unas cuantas letras del alfabeto y reglas para combinarlas (por ejemplo, IV para el cuatro, X para el 10, y XIV para el 14, pero no hay s�mbolo para el cero).

Hay diferentes clases de n�meros. Los que provienen de contar objetos son los n�meros naturales, los cuales son los m�s utilizados en la vida diaria. Un n�mero natural en si es una abstracci�n de la cantidad de cosas existente en un conjunto, pero no de los objetos mismos. El "tres" puede referirse a manzanas, piedras, personas o cualquier otra cosa. Pero en casi todas las situaciones pr�cticas se intenta saber lo que son los objetos, as� como la cantidad que hay. Por tanto, la respuesta a la mayor parte de los c�lculos es una cantidad un n�mero vinculado con una unidad. Si ciertas personas recorrieron 165 kil�metros en 3 horas, su velocidad promedio fue 55km por hora, no 55. En este ejemplo, 165, 3 y 55 son n�meros: 165 km, 3 horas y 55 km por hora son cantidades. Las unidades son importantes para no olvidar el significado de los n�meros.

Las fracciones son n�meros que se usan para designar una parte de algo o comparar dos cantidades. Un tipo com�n de comparaci�n sucede cuando se miden ciertas cantidades como la longitud y el peso, esto es, se comparan con una unidad est�ndar como el metro o el kilogramo. Se usan por lo general dos clases de expresiones para representar fracciones, que son equivalentes numéricamente. Por ejemplo, la fracción común 3/4 y la fracción decimal 0.75 representan ambas el mismo número. No obstante, las dos expresiones empleadas para representar cantidades pueden tener implicaciones diferentes: 3/4 podría emplearse para significar simplemente más cercano a 3/4 que a 2/4 o 4/4, mientras que 0.75 puede implicar que es más cercano a 0.75 que a 0.74 o 0.76 lo cual es una especificación mucho más precisa. Los números naturales y las fracciones pueden usarse juntos: 1 1/4, 1.25, 125/100 y 5/4, por ejemplo, todos significan la misma cantidad numéricamente.

Se proporciona más flexibilidad a las matemáticas utilizando números negativos, los cuales pueden representarse en una recta numérica. Esta muestra números consecutivos a intervalos iguales a lo largo de una línea recta cuyo centro es el cero. Los números a un lado del cero se llaman positivos, mientras que los del otro son negativos. Si los números a la derecha del cero son positivos, los números a la izquierda son negativos; si la distancia sobre el nivel del mar es positiva, la distancia debajo de éste es negativa; silos ingresos son positivos, las deudas son negativas; si 2:15 es el tiempo programado de despegue, 2:10 es "menos 5 minutos". La serie completa de números enteros (positivos, cero y negativos) permite restar cualquier número de otro obteniendo un resultado.

Calcular es el manejo de números y otros símbolos para llegar a un nuevo enunciado matemático. Estos otros símbolos pueden ser letras que se utilizan para representar números. Por ejemplo, al tratar de resolver un problema especifico, se podría poner la x en lugar de cualquier número que cumpliera las condiciones del problema. También hay símbolos para dar a entender qué operaciones llevar a cabo con los signos numéricos. Los más comunes son +, , x y / (aunque hay otros). Las operaciones + y son inversas entre si, como también lo son x y /: una operación deshace lo que realiza la otra. La expresión a/b puede significar "la cantidad a comparada con la cantidad b", "el número que se obtiene de dividir a entre b" o "a partes de tamaño 1/b". Los paréntesis en la expresión a(b + c) indican multiplicar a por la suma de b + c. Los matemáticos estudian los sistemas de números para descubrir sus propiedades y relaciones, así como para idear reglas para el manejo de símbolos matemáticos por procedimientos que den resultados válidos.

Los números tienen diferentes usos, algunos de los cuales no son cuantitativos o del todo lógicos. Al contar, por ejemplo, el cero tiene un significado especial de nada. Sin embargo, en la escala com�n de temperatura, el cero es s�lo una posici�n arbitraria y no significa la ausencia de temperatura (o de cualquier otra cosa). Se pueden utilizar los n�meros para poner objetos en orden e indicar cu�l es el m�s alto o m�s bajo de los dem�s no para especificar cu�nto (por ejemplo, el orden de los ganadores en una carrera, los domicilios en una calle o las puntuaciones en pruebas psicol�gicas cuyas diferencias num�ricas no tienen un significado uniforme). Tambi�n los n�meros suelen emplearse para identificar objetos sin ning�n orden significativo, como los n�meros telef�nicos y los que se utilizan sobre las playeras deportivas y placas.

Aparte de su aplicaci�n en el mundo de la experiencia cotidiana, los n�meros son interesantes por s� mismos. Desde el principio de la historia, la gente se ha hecho preguntas como: �existe un n�mero m�s grande que todos los dem�s? �Existe uno m�s peque�o que todos los otros? �Puede obtenerse todo n�mero posible dividiendo alg�n n�mero entero entre otro? Algunos n�meros, como la raz�n de la longitud de una circunferencia a la longitud de su di�metro (pi), atraen la atenci�n de muchos profesionistas, no s�lo la de los matem�ticos.

RELACIONES SIMB�LICAS

Los n�meros y las relaciones entre ellos pueden representarse como enunciados simb�licos, los cuales brindan un medio para modelar, investigar y mostrar las relaciones del mundo real. Es raro el inter�s en una sola cantidad o categor�a; generalmente interesa la relaci�n entre ellas (la relaci�n entre edad y estatura, temperatura y hora del d�a, partida pol�tica e ingreso anual, sexo y ocupaci�n). Esas comparaciones se pueden expresar utilizando ilustraciones diagramas y gr�ficas. cuadros, ecuaciones algebraicas o palabras. Las gr�ficas son especialmente �tiles para examinar las relaciones entre cantidades.

El �lgebra es un campo de las matem�ticas que explora las relaciones entre cantidades diferentes represent�ndolas mediante s�mbolos, y manipulando las expresiones que las relacionan. Aveces, una expresi�n simb�lica implica que s�lo un valor o conjunto de valores la har�n verdadera. Por ejemplo, la expresi�n 2A + 4 = 10 es verdadera si (y s�lo si) A = 3. No obstante, con frecuencia, una expresi�n algebraica permite que una cantidad tome una serie de valores e implica para cada uno de ellas el valor correspondiente de otra cantidad. Por ejemplo, la expresi�n A = s2 especifica un valor para la variable A que corresponde a cualquier elecci�n de un valor para la variable s.

Hay muchas clases posibles de relaciones entre una variable y otra. Un conjunto b�sico de ejemplos sencillos de estas relaciones incluye: 1. directamente proporcional (una cantidad siempre mantiene la misma proporci�n con otra); 2. inversamente proporcional (a medida que una cantidad aumenta, la otra disminuye en proporci�n); 3. acelerada (cuando una cantidad se incrementa uniformemente, la otra aumenta m�s y m�s r�pido); 4. convergente (a medida que cierta cantidad se incrementa sin limite, la otra se aproximar� m�s y m�s a alg�n valor limite); 5. c�clica (al incrementarse una cantidad, la otra aumenta y disminuye en ciclos repetidos), y 6. escalonada (al cambiar una cantidad continuamente, la otra lo hace en saltos).

Las expresiones simb�licas se pueden manipular por medio de las reglas de la l�gica matem�tica para producir otras con la misma relaci�n, las cuales pueden mostrar alg�n aspecto interesante de manera m�s clara. Por ejemplo, se podr�a establecer mediante s�mbolos la relaci�n entre la anchura de una p�gina, P, la longitud de una l�nea de tipos, L, y el ancho de cada margen vertical, m:P=L + 2m. Esta ecuaci�n es un modelo �til para determinar el dise�o de la p�gina. Se podr�a volver a arreglar l�gicamente para obtener otras expresiones verdaderas de la misma relaci�n b�sica: por ejemplo, las ecuaciones L = P 2m o m = (P L)/2, las cuales podr�an ser m�s adecuadas para calcular los valores reales de L o m.

En algunos casos se quiere encontrar valores que satisfagan dos o m�s relaciones diferentes al mismo tiempo. Por ejemplo, se podr�a agregar al modelo del dise�o de la p�gina otra condici�n: que la longitud de la l�nea de tipos sea 2/3 de la anchura de la p�gina: L = 2/3 P. Combinando esta ecuaci�n con m = (P L)/2, por l�gica, el resultado ser� m = 1/6 P. Esta nueva ecuaci�n, derivada de las dos anteriores, especifica los �nicos valores para m que satisfar�n a ambas relaciones. En este sencillo ejemplo, la especificaci�n para el ancho del margen puede resolverse f�cilmente sin el uso de expresiones simb�licas. Sin embargo, en otros casos, la representaci�n y manejo simb�licos son imprescindibles para llegar a una soluci�n o para ver si �sta es incluso posible.

Con frecuencia, la cantidad que m�s interesa es la rapidez con que algo cambia, m�s que el cambio mismo. En algunos casos, el �ndice de cambio de una cantidad depende de otra, por ejemplo, el cambio de velocidad de un objeto en movimiento es proporcional a la fuerza que se le aplica. Sin embargo, en otras situaciones, el �ndice de cambio es proporcional a la cantidad misma, por ejemplo, el n�mero de reci�n nacidos dentro de una poblaci�n de ratones depende del n�mero y sexo de los animales ya existentes.

FIGURAS

Los modelos espaciales se pueden representar a trav�s de un grupo muy peque�o de formas y relaciones geom�tricas fundamentales que tienen representaci�n simb�lica correspondiente. Para comprender el mundo, la mente humana depende en gran medida de su percepci�n de las figuras y modelos. Todas las cosas existentes, como edificios, veh�culos, juguetes y pir�mides, y las figuras que son tan familiares en la naturaleza, como animales, hojas, piedras, flores, la Luna y el Sol, con frecuencia se pueden caracterizar en t�rminos de su forma geom�trica. Algunas de las ideas y t�rminos de la geometr�a se han convertido en parte del lenguaje cotidiano. Aunque los objetos reales jam�s concuerdan exactamente con una figura geom�trica, s� se aproximan, de modo que lo que se sabe sobre las figuras y relaciones geom�tricas se puede aplicar a los objetos. Para muchos prop�sitos, es suficiente familiarizarse con puntos, l�neas, planos, tri�ngulos, rect�ngulos, cuadrados, c�rculos y elipses; cuerpos rectangulares y esferas; relaciones de semejanza y congruencia; relaciones de convexidad, concavidad, intersecci�n y tangentes; �ngulos entre rectas o planos; relaciones paralelas y perpendiculares entre l�neas y planos; formas de simetr�a, como la sustituci�n, reflexi�n y rotaci�n, y el teorema de Pit�goras.

Tanto la figura como la escala pueden tener consecuencias importantes para la realizaci�n de sistemas. Por ejemplo, las conexiones triangulares maximizan la rigidez, las superficies lisas disminuyen la turbulencia y los recipientes esf�ricos minimizan el �rea de la superficie para cualquier volumen o masa dada. Cambiar el tama�o de objetos manteniendo la misma forma puede tener efectos profundos debido a la geometr�a de la escala: el �rea var�a como el cuadrado de las dimensiones lineales, y el volumen lo hace como el cubo. Por otro lado, algunas clases de patrones particularmente interesantes conocidos como fractales parecen ser muy similares entre si cuando se observan a una escala cualquiera y algunos fen�menos naturales (como la forma de las nubes, monta�as y litorales) parecen ser como eso.

Las relaciones geom�tricas tambi�n se pueden expresar a trav�s de s�mbolos y n�meros, y viceversa. Los sistemas coordenados son un medio com�n de relacionar los n�meros con la geometr�a. Por poner el ejemplo m�s sencillo, cualquier n�mero se puede representar como un punto �nico sobre una l�nea si primero se especifican puntos para representar el cero y el uno. Sobre cualquier superficie plana se pueden especificar las localizaciones s�lo por un par de n�meros o coordenadas. Por ejemplo, la distancia desde el lado izquierdo de un mapa y la distancia desde la base, o la distancia y direcci�n desde el centro del mapa.

Los sistemas coordenados son esenciales para realizar mapas precisos, pero hay algunas sutilezas. Por ejemplo, la superficie esf�rica aproximada de la Tierra no se puede representar sobre un mapa plano sin que haya distorsi�n. A unas cuantas docenas de millas, el problema es muy poco notorio, pero a una escala de cientos o miles de millas, la distorsi�n aparece necesariamente. Se puede hacer una variedad de representaciones aproximadas y cada una implica un tipo algo diferente en la distorsi�n de forma, �rea o distancia. Un tipo com�n de mapa exagera las �reas aparentes de las regiones cercanas a los polos (por ejemplo, Groenlandia y Alaska), mientras que otros tipos espec�ficos representan de manera enga�osa la distancia m�s corta entre dos lugares, o aun qu� punto es adyacente a qu� otro.

La interpretaci�n matem�tica de la figura tambi�n incluye la descripci�n gr�fica de las relaciones num�ricas y simb�licas. Las cantidades se visualizan como longitudes o �reas (como en las gr�ficas de barras y de sectores circulares) o como distancias desde ejes de referencia (como en las gr�ficas lineales o planos esparcidos). La exposici�n gr�fica hace posible identificar patrones de inmediato, que de otra forma no serian obvios: por ejemplo, tama�os relativos (proporciones o diferencias), �ndices de cambio (pendientes), discontinuidades abruptas (aumentos a intervalos), agrupaci�n (distancias entre puntos marcados) y tendencias (cambio de pendientes o proyecciones). La matem�tica de las relaciones geom�tricas tambi�n ayuda en el an�lisis del dise�o de estructuras complejas (mol�culas prote�nicas o alas de aviones) y redes l�gicas (conexiones de c�lulas cerebrales o sistemas telef�nicos de larga distancia). .

INCERTIDUMBRE

El conocimiento sobre la manera en que opera el mundo est� limitado por lo menos por cinco tipos de incertidumbre: 1. conocimiento inadecuado de todos los factores que pueden influir en algo; 2. n�mero inadecuado de observaciones sobre esos factores; 3. falta de precisi�n en las observaciones; 4. carencia de modelos apropiados para combinar toda la informaci�n de modo significativo, y 5. capacidad inadecuada para calcular a partir de los modelos. Es posible predecir algunos sucesos con mucha precisi�n (eclipses), otros con meros exactitud (elecciones) y otros con muy poca certeza (terremotos). Aunque la certidumbre absoluta es casi imposible de conseguir, con frecuencia se puede estimar la probabilidad sea grande o peque�a de que algunas cosas sucedan y el margen probable de error de la estimaci�n.

Con frecuencia resulta �til expresar la probabilidad en forma num�rica. Por lo general se utiliza una escala de probabilidad de O a 1, donde el O indica la creencia de que alg�n suceso espec�fico es seguro que no ocurrir�, el 1 indica la creencia de que es seguro que suceder� y el intervalo entre los dos indica certidumbre. Por ejemplo, una probabilidad de 0.9 indica que hay 9 oportunidades en 10 de que ocurra un suceso como se predijo; una probabilidad del 0.001 indica que hay solamente una oportunidad en 1 000 de que ocurra. Tambi�n se pueden expresar las probabilidades como porcentajes, que van desde 0% (no hay certeza) hasta el 100% (certeza). Las incertidumbres tambi�n pueden expresarse como desigualdades: una probabilidad de 0.8 para un evento puede expresarse como las posibilidades de 8 a 2 (o 4 a 1) en favor de que ocurra.

Una manera para estimar la probabilidad de un evento es considerando los acaecimientos pasados. Si la situaci�n actual es similar a las anteriores, entonces se pueden esperar resultados algo similares. Por ejemplo, si llovi� el 10% de los d�as de verano del a�o pasado, se puede esperar que llueva aproximadamente el 10% de los d�as del siguiente verano. As�, una estimaci�n razonable de la probabilidad de lluvia de cualquier d�a de verano es 0. 1 una oportunidad en 10. La informaci�n adicional puede cambiar la estimaci�n de la probabilidad. Por ejemplo, pudo haber llovido el 40% de los d�as nublados del pasado verano; de modo que, si el d�a actual est� nublado, se puede aumentar la estimaci�n de 0.1 a 0.4 para la probabilidad de lluvia. Cuanto m�s se parezca la situaci�n que interesa a aqu�lla de la que se tienen datos, mayor es la probabilidad de que la estimaci�n resulte m�s acertada.

Otro enfoque para estimar las probabilidades es considerar los posibles y distintos resultados de un suceso espec�fico. Por ejemplo, si hay 38 ranuras de amplitud igual en una ruleta rusa, se puede esperar que la bola caiga en cada ranura m�s o menos 1/38 veces. Las estimaciones de esa probabilidad te�rica descansan en la suposici�n de que todos los resultados posibles son razonables y es igualmente probable que todos ocurran. Pero si ello no es cierto por ejemplo, si las ranuras no son de igual tama�o o si en ocasiones la bola se sale de la ruleta, la probabilidad calculada ser� err�nea.

Las probabilidades son muy �tiles para predecir proporciones de resultados en grandes cantidades de eventos. Una moneda lanzada al aire tiene una probabilidad de 50% de que caiga cara, aunque una persona no va conseguir precisamente 50% de caras en un n�mero par de lances. Cuanto m�s se lance una moneda, ser� menos probable que uno consiga una cantidad precisa del 50%, pero la proporci�n m�s cercana de caras es probable que sea el te�rico 50%. De igual manera, las compa��as aseguradoras pueden, dentro de un rango de uno o dos puntos porcentuales, predecir la proporci�n de personas de 20 a�os que morir� en un a�o especifico, pero es probable que se equivoquen por miles de muertes totales y no tienen ninguna capacidad de predecir si alguien en particular que tenga 20 a�os morir�. En otras palabras, tambi�n es importante distinguir entre la proporci�n y la cifra real. Cuando hay una gran cantidad de sucesos similares, aun un resultado con una probabilidad muy peque�a de ocurrir puede suceder con mucha frecuencia. Por ejemplo, un examen m�dico con una probabilidad de 99% de ser correcto puede parecer muy preciso pero si ese examen se hubiera aplicado a un mill�n de personas, aproximadamente 10 000 individuos recibir�an resultados falsos.

Resumen de datosa

La informaci�n se encuentra alrededor de todos, a menudo en tan grandes cantidades que no es posible darle sentido. Un conjunto de datos se puede representar a trav�s de un resumen de caracter�sticas que pueden revelar u ocultar aspectos importantes. La estad�stica es una rama de las matem�ticas que desarrolla m�todos �tiles de organizar y analizar grandes cantidades de datos. Por ejemplo, para tener una idea de lo que es un conjunto de datos, se podr�a trazar cada caso en una recta num�rica, y despu�s inspeccionar la gr�fica para ver d�nde se acumulan los casos, d�nde se separan unos de otros, d�nde se encuentran los m�s altos y los m�s bajos, y as� sucesivamente. De forma alternativa, el conjunto de datos se puede caracterizar de manera resumida describiendo d�nde se halla su centro y cu�nta variaci�n hay alrededor de �l.

El estad�stico m�s conocido para resumir una distribuci�n de datos es la media, o promedio com�n, pero se debe ser cuidadoso al usarla o interpretarla. Cuando los datos son discretos (como el n�mero de hijos por familia), la media no podr�a ser un valor posible (por ejemplo, 2.2 hijos). Cuando los datos se inclinan mucho hacia un extremo, la media tampoco puede estar cerca de un valor com�n. Por ejemplo, una proporci�n peque�a de personas que tienen ingresos personales muy altos puede aumentar la media mucho m�s de lo que la mayor�a de las personas concentradas en el extremo m�s bajo ser�a capaz de disminuirla. La mediana, la cual divide la mitad inferior de los datos de la mitad superior, es m�s significativa para muchos prop�sitos. Cuando s�lo hay unos cuantos valores discretos de una cantidad, el tipo de promedio m�s informativo puede ser la moda, la cual es el valor �nico m�s com�n por ejemplo, el n�mero m�s com�n de autom�viles por familia en los Estados Unidos de Am�rica es 1.

En general, los promedios por s� mismos no hacen caso de la variaci�n en los datos y pueden implicar m�s uniformidad de la que existe. Por ejemplo, la temperatura promedio en el planeta Mercurio de aproximadamente 150 F no suena tan mal hasta que uno considera que �sta oscila desde 3000 F hasta 3000 F bajo cero. El descuido de la variaci�n puede ser particularmente enga�oso cuando se comparan promedios. Por ejemplo, el hecho de que la estatura promedio de los hombres sea claramente mayor que la de las mujeres, se podr�a enunciar como "los hombres son m�s altos que las mujeres", en tanto que existen muchas mujeres que son m�s altas que muchos hombres. Por tanto, para interpretar promedios, es importante tener informaci�n sobre la variaci�n dentro de los grupos, como la gama total de datos o la gama cubierta por el 50%. Una gr�fica de todos los datos a lo largo de una recta num�rica hace posible ver la forma en que se distribuyen los datos.

Con frecuencia se presentan datos resumidos que pretenden demostrar una relaci�n entre dos variables, pero carecen de informaci�n esencial. Por ejemplo, la afirmaci�n de que "m�s del 50% de las parejas casadas que tienen diferentes religiones se divorcian" no dir�a nada acerca del v�nculo entre la religi�n y el divorcio a menos que se conozca tambi�n el porcentaje de parejas que se divorcian teniendo la misma religi�n. S�lo la comparaci�n de los dos porcentajes podr�a indicar si existe una relaci�n real. Aun entonces, es necesaria la precauci�n por los posibles sesgos en la manera en que se seleccionaron las muestras y por las diferencias en porcentaje que puedan ocurrir s�lo por el azar al seleccionar la muestra. Los informes apropiados de esa informaci�n deber�n incluir una descripci�n de posibles fuentes de sesgos y una estimaci�n de la incertidumbre estad�stica en la comparaci�n.

Dos cantidades se correlacionan en forma positiva si tener m�s de una se asocia con tener m�s de la otra. (Una correlaci�n negativa significa que tener m�s de una se asocia con tener menos de la otra.) Pero incluso una correlaci�n fuerte entre dos cantidades no significa que una sea necesariamente la causa de la otra. Una de ellas podr�a causar la otra, o ambas podr�an ser el resultado com�n de un tercer factor. Por ejemplo, la expectativa de vida en una comunidad se correlaciona positivamente con el n�mero promedio de tel�fonos por casa. Uno podr�a buscar una explicaci�n de por qu� tener m�s tel�fonos mejora la salud de los individuos o por qu� las personas sanas compran m�s de estos aparatos. Sin embargo, es m�s probable que tanto la salud como el n�mero de tel�fonos sean la consecuencia del grado general de riqueza de la comunidad, lo cual afecta la calidad total de la nutrici�n y el cuidado m�dico, as� como la inclinaci�n de las personas a comprar tel�fonos.

Muestreo de datos

La mayor parte de lo que se aprende sobre el mundo se obtiene de informaci�n basada en muestreos de lo que se est� estudiando por ejemplo, muestras de formaciones rocosas, luz de las estrellas, televidentes, enfermos de c�ncer, ballenas, n�meros, etc.. Se hace uso de las muestras porque resultar�a imposible, impr�ctico o demasiado costoso examinar el todo de algo, y porque una muestra, por lo general, es suficiente para la mayor parte de los prop�sitos. Al sacar conclusiones sobre un todo a partir de muestras, se deber�n tomar en cuenta dos aspectos principales. Primero, se debe estar alerta a posibles sesgos originados por la forma en que se selecciona la muestra. Las fuentes comunes de sesgos al seleccionar muestras incluyen la conveniencia (por ejemplo, entrevistar s�lo a los amigos o recoger solamente rocas de la superficie), la autoselecci�n (por ejemplo, estudiar �nicamente a la gente que coopera voluntariamente o a quienes regresan los cuestionarios), el fracaso para incluir a aquellos que se han retirado a lo largo del camino (por ejemplo, examinar s�lo a estudiantes que permanecen en la escuela o a pacientes que siguen el curso de una terap�utica) y la decisi�n de usar s�lo los datos que apoyen las propias concepciones previas.

El segundo aspecto importante que determina la utilidad de una muestra es su tama�o. Si �sta se obtiene sin sesgos en el m�todo, entonces, cuanto m�s grande es, mayor es la probabilidad de que represente al todo con exactitud. Esto es as� porque, cuanto mayor es la muestra, es m�s probable que los efectos menores de las variaciones debidas al puro azar est�n en sus caracter�sticas resumidas. La probabilidad de extraer una conclusi�n equ�voca disminuye a medida que el tama�o de la muestra se incrementa. Por ejemplo, para las muestras escogidas al azar, encontrar que 600 de una muestra de 1 000 tienen una cierta caracter�stica, es una evidencia mucho m�s fuerte de que una mayor�a de la poblaci�n presenta esa caracter�stica que descubrir que 6 de una muestra de 10 (o incluso 9 de 10) la tienen. Por otro lado, el tama�o real de la poblaci�n total de la cual se extrae una muestra tiene poco efecto en la exactitud de los resultados de �sta. Una muestra aleatoria de 1 000 podr�a tener aproximadamente el mismo margen de error si se selecciona en una poblaci�n de 10 000 o en una similar de 100 millones.

RACIOCINIO

Algunos aspectos del raciocinio tienen reglas l�gicas claras, otros s�lo poseen principios y otros m�s tienen espacio casi inilimitado para la creatividad (y desde luego para el error). Un argumento convincente requiere enunciados verdaderos y relaciones v�lidas entre ellos. Sin embargo, la l�gica formal se interesa en la validez de las relaciones entre los enunciados, no si �stos son en realidad verdaderos. Es correcto desde un punto de vista l�gico argumentar que si todos los p�jaros vuelan y los ping�inos son p�jaros, entonces los ping�inos vuelan. Pero la conclusi�n no es verdadera si las premisas no son verdaderas: �de verdad vuelan todos los p�jaros y los ping�inos son realmente p�jaros? El an�lisis de la verdad de las premisas es tan importante para un buen raciocinio como la l�gica que opera en ellas. En este caso, ya que la l�gica es correcta pero la conclusi�n es falsa (los ping�inos no pueden volar), una o ambas premisas deben de ser falsas (no todos los p�jaros vuelan, o los ping�inos no son p�jaros).

Los argumentos l�gicos muy complejos se pueden construir a partir de un peque�o n�mero de pasos l�gicos, los cuales dependen del uso preciso de los t�rminos b�sicos "si","y""o" y "no". Por ejemplo, el diagn�stico m�dico implica cadenas l�gicas ramificadas como "si el paciente padece la enfermedad X o Y y tambi�n tiene un resultado de laboratorio B, pero no tiene antecedentes de C, entonces debe aplicarse el tratamiento D ". La soluci�n de ese problema l�gico puede requerir conocimiento experto de muchas relaciones, acceso a muchos datos para alimentar las relaciones y la habilidad para deducir cadenas ramificadas de operaciones l�gicas. Ya que las computadoras pueden almacenar y devolver grandes cifras de relaciones y datos, adem�s de que pueden realizar largas series de pasos l�gicos muy r�pido, se est�n utilizando cada vez m�s para ayudar a los expertos a resolver complejos problemas que de otra manera ser�a dif�cil o hasta imposible resolverlos. No obstante, no todos los problemas l�gicos se pueden solucionar por computadora.

Las relaciones l�gicas pueden distorsiorarse con facilidad. Por ejemplo, la proposici�n de que todos los p�jaros pueden volar, no implica l�gicamente que todas las criaturas que vuelen sean p�jaros. Tan obvio como puede parecer este ejemplo sencillo, la distorsi�n ocurre a menudo, sobre todo en situaciones cargadas emocionalmente. Por ejemplo: "todos los prisioneros culpables rehusan testificar contra si mismos; el prisionero S�nchez se neg� a testificar contra �l mismo; por tanto, S�nchez es culpable."

Las distorsiones en l�gica provienen a menudo de no distinguir entre las condiciones necesarias y las suficientes. Siempre se requiere una condici�n necesaria para una consecuencia, pero puede no ser suficiente por s� misma por ejemplo, ser ciudadano de la Uni�n Americana es necesario para ser electo presidente, pero no suficiente. Una condici�n que es suficiente para una consecuencia se basta a si misma, pero puede haber otras formas de llegar al mismo resultado ganar la loter�a estatal es suficiente para convertirse en millonario, pero hay otras maneras. Sin embargo, una condici�n puede ser tanto necesaria como suficiente; por ejemplo, recibir la mayor parte de los votos electorales es una condici�n tanto necesaria para convertirse en presidente como suficiente para hacerlo, pues es la �nica forma.

La l�gica tiene utilidad limitada para encontrar la soluci�n a muchos problemas. Fuera de los modelos abstractos, con frecuencia, no se puede establecer con confianza la verdad de las premisas o las relaciones l�gicas entre ellas. La l�gica precisa requiere declaraciones como: "Si X es verdadera, entonces Y tambi�n es verdadera" (perro que ladra no muerde), y "X es verdadera" (el canuto ladra). Sin embargo, de manera t�pica, todos saben que "si X es verdadera, entonces Y tambi�n a menudo es verdadera" (un perro que ladra suele no morder) y "X parece ser aproximadamente verdadera casi todo el tiempo" (el canuto generalmente ladra). Por tanto, la l�gica estricta se reemplaza con frecuencia por las probabilidades u otros tipos de razonamiento que conducen a resultados mucho menos certeros; por ejemplo, afirmar que en promedio la lluvia caer� antes del anochecer en el 70% de los d�as que tengan ma�anas con condiciones meteorol�gicas similares a las del d�a de hoy.

Si se aplica la deducci�n l�gica a una regla general (todas las criaturas con plumas vuelan), se puede llegar a una conclusi�n acerca de un caso particular o clase de casos (los ping�inos vuelan). Pero, �de d�nde provienen las reglas generales? A menudo son generalizaciones hechas a partir de observaciones: descubrir un n�mero de casos similares y suponer que lo que es verdad para ello es verdad para toda la clase ("toda criatura con plumas que he visto puede volar; por tanto, quiz� todas puedan hacerlo"). O una regla general puede surgir de la imaginaci�n, por medios no conocidos, con la esperanza de poder demostrar que algunos aspectos de los fen�menos se derivan l�gicamente de ella (por ejemplo: "si fuera verdad que el Sol es el centro del movimiento de todos los planetas, incluida la Tierra, �tal sistema podr�a producir los movimientos aparentes en el cielo?").

Una vez que una regla general se ha elevado a la categor�a de hip�tesis. por cualesquiera medios, la l�gica sirve para comprobar su validez. Si se descubre un caso contrario (una criatura con plumas que no puede volar), la hip�tesis no es verdadera. Por otro lado, la �nica manera de probar l�gicamente que una hip�tesis general acerca de una clase es verdadera consiste en examinar todos los casos posibles (todas las aves), lo cual es dif�cil en la pr�ctica y a veces imposible incluso en principio. As�, suele ser mucho m�s f�cil probar que las hip�tesis generales son l�gicamente falsas que probar que son verdaderas. En la actualidad, las computadoras a veces hacen posible demostrar de manera convincente la verdad de generalizaciones matem�ticas dudosas, incluso si no se prueban, sometiendo a prueba enormes cantidades de casos espec�ficos.

La ciencia puede usar la l�gica deductiva silos principios generales acerca de los fen�menos se han establecido como hip�tesis, pero tal l�gica no puede conducir a esos principios generales. Suele arribarse a los principios cient�ficos generalizando a partir de un n�mero limitado de experiencias; por ejemplo, s� todas las criaturas con plumas que se han observado nacen de huevos, entonces quiz� todas las criaturas emplumadas lo hacen. Este es un tipo de razonamiento muy importante, incluso si el n�mero de observaciones es peque�o (por ejemplo, quemarse una vez con fuego puede ser suficiente para que una persona sea cautelosa por el resto de su vida al manejar este elemento). Sin embargo, la tendencia natural a generalizar tambi�n puede extraviar al que lo hace. Caer enfermo el d�a siguiente de romper un espejo puede ser suficiente para que un individuo tema de por vida a los espejos rotos. En un nivel m�s refinado, descubrir que varios pacientes que tienen los mismos s�ntomas se recuperan despu�s de administrarles un nuevo f�rmaco puede conducir al m�dico a generalizar que todos los pacientes similares recobrar�n la salud us�ndolo, aun cuando la recuperaci�n s�lo haya ocurrido por azar.

La tendencia humana a generalizar tiene algunos aspectos sutiles. Una vez formadas, las generalizaciones suelen influir en las percepciones y las interpretaciones que las personas hacer de los acontecimientos. Por ejemplo, si el m�dico tiene la generalizaci�n de que el f�rmaco ayudar� a todos los pacientes que presentan ciertos s�ntomas, es probable que interprete el estado del paciente como una mejor�a despu�s de que �ste ha tomado el medicamento, aun si la mejor�a es dudosa. Para evitar tales prejuicios en la investigaci�n, los cient�ficos utilizan com�nmente un procedimiento "ciego", en el cual la persona que observa o interpreta los resultados no es la misma que controla las condiciones (por ejemplo, el m�dico que juzga el estado del paciente no sabe qu� tratamiento espec�fico ha recibido �ste).

Mucho del razonamiento, y quiz� la mayor parte del pensamiento creativo, implica no s�lo la l�gica sino las analog�as. Cuando una situaci�n parece semejarse a otra en alg�n aspecto, se puede creer que tambi�n se parece a otros. Por ejemplo, la luz que se difunde a partir de una fuente lo hace como las ondas en el agua a partir de una perturbaci�n, quiz� por eso la luz act�a como las ondas en el agua en otros aspectos, como producir patrones de interferencia donde se cruzan las ondas (si lo hacen). O el Sol es como el fuego porque produce luz y calor, tal vez por eso implica tambi�n quemar combustible (de hecho, no lo hace). El punto importante es que el razonamiento por analog�a puede sugerir conclusiones, pero nunca puede probar que son verdaderas.

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