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La matem�tica es principalmente un proceso de pensamiento que implica la construcci�n y aplicaci�n de una serie de ideas abstractas relacionadas l�gicamente. Estas ideas, por lo general, surgen de la necesidad de resolver problemas en la ciencia, la tecnolog�a y la vida cotidiana que van desde c�mo modelar ciertos aspectos de un problema cient�fico complejo hasta c�mo hacer el balance de un talonario de cheques. CIENCIA:
CONOCIMIENTO PARA TODOS | ||
Sin embargo, determinar cu�l es el valor principal del conocimiento no significa dejar de lado el asunto de c�mo se adquiere. Como en las dem�s ciencias, la comprensi�n de las matem�ticas requiere casi siempre una gran experiencia en su empleo, para resolver problemas, comunicar ideas y relacionar ideas entre s�. El informe Curriculum and Evaluation Standards for School Mathemathics (Normas Curriculares y de Evaluaci�n para las Matem�ticas Escolares, que de aqu� en adelante llamaremos Normas NCTM) es una magn�fica fuente de ideas y sugerencias acerca de c�mo la instrucci�n puede promover tanto el conocimiento como la pr�ctica. Los componentes matem�ticos de los objetivos program�ticos definen el nivel de especificidad requerido por la estrategia de este libro, que consiste en dise�ar bloques de estudio interconectados, con metas expl�citas.
Los n�meros est�n por dondequiera y aparecen con muchos "disfraces". La experiencia escolar con los n�meros debe como dec�a Pascal impulsar el aprecio por su belleza y armon�a, y contribuir tambi�n al desarrollo del sentido num�rico. Aunque es dif�cil definirlo en detalle, el sentido num�rico es lo que permite a la gente juzgar cu�ndo el razonamiento matem�tico tiene sentido, y si los resultados son razonables. Lo m�s importante es que proporciona confianza a las personas en el uso de las matem�ticas para resolver problemas y comunicar ideas.
Silos alumnos han de adquirir esa confianza, los planes de estudios deben tratar de: 1. que los papeles que desempe�an los n�meros en diversas actividades como deportes, historia, m�sica, loter�as, codificaci�n, etc., se hagan expl�citos y se discutan; 2. que se dedique tiempo a examinar algunas de las ideas matem�ticas m�s fascinantes, por ejemplo, el cero, los n�meros negativos, 7t y los n�meros primos, y 3. que los n�meros que se emplean para resolver problemas sean, en lo posible, los que provienen de mediciones reales, de preferencia de los propios alumnos, y cuando no, de bases de datos. Las actividades de investigaci�n y dise�o ofrecen amplias oportunidades para que los alumnos trabajen en problemas que les interesen y los alienten a hacer estimaciones, conteos, mediciones, gr�ficas y dem�s empleo de los n�meros, en las formas que contribuyen al crecimiento del sentido num�rico.
Del
nivel preescolar al segundo grado de ense�anza elemental
Los ni�os deben tener dos tipos de experiencia con los n�meros. Lo primero es que sea algo divertido. Contar, y los juegos de contar en los que se pide a los alumnos que cuenten progresiva o regresivamente, que se salten, que hagan corresponder n�meros con cosas, que adivinen cu�ntas cosas hay en un conjunto y despu�s las cuenten para ver qui�n gana, etc., son bien recibidos por los alumnos y les ayuda a familiarizarse con los n�meros. Estos juegos de conteo deben ampliarse para incluir la comparaci�n, combinaci�n y el cambio de n�meros, y tambi�n que "quiten" y "pongan". Pero contar y estimar, y desde luego sumar y restar, no es el �nico empleo de los n�meros que pueden captar los alumnos de los primeros grados. Por ejemplo, puede presentarse el empleo de n�meros para identificar objetos, haciendo que los ni�os armen figuras de las cosas distintas, como placas de autom�viles y n�meros de cuarto, y as� pueden descubrir en d�nde se emplean los n�meros para identificar cosas.
El otro tipo de experiencia con los n�meros tiene que ver con las mediciones (que despu�s de todo no es sino una forma de conteo). Los alumnos deben realizar actividades, en especial las cient�ficas y de dise�o, donde se requiera que pregunten cosas que s�lo puedan contestarse con n�meros asociados con cosas. De este modo, pueden comenzar a comprender que respuestas a preguntas como �de qu� tama�o?, �a qu� distancia?, �cu�nto tiempo? pueden ser, respectivamente, "9 kilos", "a 9 cuadras" o "9 d�as", pero no tan s�lo "9". Aunque debe impulsarse a los alumnos para que lleven a cabo comparaciones f�sicas relativas siempre que puedan para llegar a conclusiones como, digamos, que B es m�s alto que A, a C le cabe m�s que a D, etc., tambi�n deben comenzar a desarrollar la preferencia hacia las comparaciones num�ricas, como B es 5 cent�metros m�s alto que Q, a la caja C le caben 14 canicas m�s que a la D. Las gr�ficas, en esta etapa, deben tener principalmente la forma de pictogramas, con objeto de comparaciones relativas m�s que graficaci�n de n�meros.
Al terminar el segundo grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
En esta etapa los alumnos est�n adquiriendo destreza en multiplicaci�n y divisi�n, con papel y l�piz y con calculadoras. Algo de la pr�ctica necesaria en esta destreza se puede llevar a cabo con n�meros sin contexto. Pero si los alumnos han de aprender el significado de los n�meros y a usarlos correctamente, gran parte de lo que hagan debe basarse en la resoluci�n de problemas en los que importen las respuestas, y donde los n�meros sean cantidades medidas. Para esta edad, y tambi�n para los mayores, una gran fuente de ejemplos con n�meros es el Libro de r�cords mundiales Guinness, de donde los propios alumnos pueden enunciar problemas interesantes.
Ahora pueden tomar medidas m�s precisas y variadas que en los grados inferiores, y no es muy temprano para discutir algunas de las realidades de n�meros basados en la medici�n, en especial que las mediciones son estimados que var�an algo, y que la manera de escribir un n�mero dice algo acerca de la precisi�n de dicha medici�n, o tambi�n que siempre es necesaria una unidad de medida. Esta realidad se puede describir en forma de ideas generales y ejemplos obvios, sin que sean necesarias reglas complicadas.
Como asunto pr�ctico, el cero es importante en la medici�n y la graficaci�n, por ser un ancla de las escalas; los alumnos deben tener oportunidad, ahora, de investigarlo como concepto matem�tico interesante. Puede ser parte de su introducci�n a la idea de un sistema num�rico y del valor posicional.
Al terminar el quinto grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
Este puede ser el periodo m�s importante de todos para ayudar a que los alumnos desarrollen la comprensi�n de los n�meros. Hasta ahora han manejado, principalmente, n�meros enteros positivos. Ya pueden entrar en escena los n�meros negativos y las fracciones, porque los necesitar�n para llevar a cabo las actividades cient�ficas y tecnol�gicas incluidas en sus planes de estudios. Esta introducci�n pr�ctica al valor de las fracciones y los n�meros negativos debe complementarse con oportunidades para que reflexionen en esas ideas matem�ticas y en otras m�s, como la interrelaci�n de las operaciones, los sistemas num�ricos y las pautas de n�meros abstractos. Excepto en los casos en los que se trate claramente de practicar las operaciones, los profesores deben insistir en que los alumnos mediten acerca de los n�meros empleados para resolver problemas cuantitativos. Los alumnos deben preguntarse cosas como: �qu� unidades deben asociarse con las mediciones y la respuesta calculada?, �cu�ntos d�gitos bastan en la respuesta, independientemente de lo que muestre la calculadora? Son dif�ciles las reglas formales para obtener las cifras significativas, y la mayor�a de la gente tiende a manejar m�s d�gitos que los necesarios "para estar seguros", pero deben darse cuenta, cuando menos, que sean importantes y que hay modos de manejarlos. "�Tiene sentido este n�mero?"
Al terminar el segundo grado de ense�anza media los alumnos deben saber que:
Respecto de los n�meros, los grados tercero de ense�anza media a tercero de media superior son, en su mayor parte, elaboraci�n de lo aprendido del sexto grado de ense�anza elemental al segundo de ense�anza media. En esta etapa los alumnos se encuentran con n�meros y c�lculos principalmente para resolver problemas o para aprender matem�ticas m�s avanzadas. Mediante casos repetidos donde se presenten dificultades num�ricas, los alumnos pueden ahondar y refinar su comprensi�n de las relaciones num�ricas, operaciones, relaciones, estimaci�n, medici�n, gr�ficas, etc. Igualmente, deben adquirir m�s experiencia en el empleo de las calculadoras para distintas tareas computacionales.
Al terminar el tercer grado de ense�anza media superior los alumnos deben saber que:
El �lgebra, asociada al prestigio acad�mico, a su importancia como medio de progreso (en la escuela, no en la vida), y a su importancia en las ciencias, la ingenier�a y muchos otros campos, sigue siendo un tema acerca del cual no est� bien aclarado lo que necesita conocer el adulto promedio. La tendencia actual hacia un a�o de �lgebra para todos los alumnos se justifica, con frecuencia, citando la fuerte correlaci�n entre tomar clases de �lgebra y el �xito vocacional; pero naturalmente las correlaciones no implican relaci�n de causa y efecto. La pregunta que para elaborar este libro se hizo en Ciencia Conocimiento para todos fue lo que deben aprender todos los alumnos, y no cu�nta �lgebra deben tomar, tampoco se pregunt� cu�nta biolog�a o cu�nta qu�mica deben tomar.
Es claro que todos deben saber qu� es el �lgebra, porque es uno de los grandes inventos de todos los tiempos. El primer paso hacia este concepto es que los alumnos aprendan s�mbolos, incluyendo que el empleo de �stos est� muy difundido, asume muchas formas y no es caracter�stica �nica del �lgebra ni de las matem�ticas. Sin embargo, el �lgebra representa a n�meros, conjuntos de n�meros, cantidades y relaciones con letras y signos (de operaciones) de modo sistem�tico, lo cual es �til para describir relaciones entre variables. El segundo paso es que los alumnos aprendan lo que significa manipular enunciados simb�licos. Pueden usar s�mbolos algebraicos y hasta formar afirmaciones simb�licas sencillas, mucho antes de saber que est�n "haciendo �lgebra". Despu�s, a medida que se encuentran con ejemplos de c�mo se usa el �lgebra en diversos contextos como en las ciencias naturales y sociales, o en el dise�o, desarrollar�n el sentido de qu� es.
Las preguntas pr�cticas dif�ciles tienen que ver con cu�nto deben aprender los alumnos acerca de la naturaleza y los usos de las ecuaciones algebraicas, y el grado de destreza que se espera que tengan al manipular ecuaciones. Para la formaci�n cient�fica es m�s importante que desarrollen un sentido de qu� son las ecuaciones y c�mo corresponden a otras formas de expresar relaciones entre cosas, y no solamente ser capaces de deducirlas o usarlas. Los alumnos que toman uno o m�s a�os de �lgebra aprenden, muchas veces, a manipular s�mbolos y resolver ecuaciones (al menos cuando presentan el examen), pero salen con ideas bastante vagas de lo que significa una soluci�n o por qu� se puede necesitar.
En consecuencia, los alumnos deben tener experiencias que los animen a emplear las ecuaciones simb�licas, as� como las gr�ficas, tablas y palabras, para resumir datos y proponer modelos de las relaciones del mundo real. Sin embargo, debe cuidarse de no confundir al alumno; se deben seleccionar variables que sean interesantes y observables, o medibles, y subrayar las relaciones simples entre una variable y otra, que se describieron en Ciencia: Conocimiento para todos.
El �lgebra se usa en las ciencias para elaborar modelos de la forma en que los cambios de una cantidad afectan los cambios en otras cantidades. La f�sica, qu�mica e ingenier�a, y cada vez m�s tambi�n la biolog�a, dependen de la representaci�n algebraica. En estos objetivos no pretendemos que los alumnos recuerden las f�rmulas de aceleraci�n o de los circuitos en paralelo, ni de la acci�n de masas. Tampoco esperamos que puedan llevar a cabo manipulaciones algebraicas o resolver ecuaciones simult�neas. Deseamos, si, que adquieran el concepto de proporcionalidad, la capacidad de leer una f�rmula algebraica y desarrollar su capacidad para relacionar la forma de una gr�fica con sus implicaciones con alg�n fen�meno o suceso concreto.
Las calculadoras han simplificado mucho la graficaci�n de ecuaciones; sin embargo, antes de que los alumnos hagan uso de esta posibilidad, necesitan tener experiencia en tabular datos por sustituci�n num�rica en ecuaciones sencillas, para poder, a continuaci�n, graficarlos. Despu�s pueden invertir el proceso tratando de determinar una curva, y con ella una f�rmula que se ajuste a los puntos de la gr�fica. Quiz�s el modo m�s pr�ctico de aprender la transformaci�n entre tablas de datos, gr�ficas y f�rmulas es empleando programas de c�mputo para hojas de c�lculo y gr�ficas. Pueden emplear los datos que les interesen, deducir f�rmulas matem�ticas, usar las f�rmulas disponibles (las "funciones" de las hojas de c�lculo), realizar c�lculos en serie e imprimir tablas y gr�ficas de l�neas, barras y pastel.
Cuando en la ciencia se emplean
ecuaciones algebraicas y sus gr�ficas, el objetivo es describir fen�menos, pero
que no necesariamente cumplen este cometido. Una pregunta a la que se pueden dar
respuestas cada vez m�s complejas es "�por qu� no se ajusta exactamente?" Las
respuestas deben centrarse, primero, en los errores de observaci�n; despu�s en
la elecci�n de la f�rmula equivocada para ajustarse a datos ideales. Las respuestas
deben comprender influencias no controladas y m�rgenes inadecuados de aplicaci�n;
al �ltimo debe venir la respuesta: "simplemente porque el mundo parece no funcionar
de modo tan sencillo como las matem�ticas".
Del
nivel preescolar al segundo grado de ense�anza elemental
Los primeros a�os se les debe pedir a los ni�os que busquen regularidad en eventos, formas, figuras y conjuntos de n�meros. Deben buscar, especialmente, 1 casos en los que parezca que los cambios de una cosa est�n relacionados con cambios en otras, sin embargo, ser�a un error presentar la dependencia entre dos variables con toda su complejidad algebraica. La idea intuitiva de funci�n puede inculcarse tanto matem�tica (teclear n�meros distintos con las mismas operaciones en la calculadora) como f�sicamente (ajustando los grifos, los controles de la TV o los termostatos, u observando los efectos que tiene el ejercicio sobre la actividad del coraz�n y la respiraci�n).
Al terminar el segundo grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
Los s�mbolos son tan s�lo elementos que representan otras cosas o conjuntos de otras cosas. Pueden ser objetos, marcas o hasta sonidos. Quiz� no sea muy pronto para que los alumnos comiencen a identificar s�mbolos como banderas de los estados, la mascota de la escuela, "caras alegres," velas de pasteles de cumplea�os, etc., e inventar s�mbolos para representar cosas y combinarlos para denotar relaciones (especificadas por otros alumnos), como "esto es mayor (o m�s veloz o m�s caro) que aquello". En esta actividad se debe ayudar a los alumnos a darse cuenta de que el concepto de s�mbolo no pertenece s�lo a las matem�ticas y que no s�lo se usan letras como s�mbolos. Deben reunir y comparar los usos de distintos tipos de s�mbolos que puedan encontrar en matem�ticas o en cualquier otra materia, como jerogl�ficos, n�meros, iconos, notas musicales, etc�tera.
Al principio, se puede apreciar la dependencia de una cantidad de otra simplemente como "el cambio de x provoca un cambio de y". No necesita m�s que darse cuenta del cambio de Y y decir si se hace mayor o menor. En este nivel es posible observar si un cambio notable de y necesita de un gran cambio de x o tan s�lo de un cambio peque�o. Probablemente sea prematuro presentar la dependencia entre dos variables con s�mbolos formales. Sin embargo, se puede anticipar algo; en este nivel el cuadrado para la inc�gnita de una ecuaci�n, por ejemplo 3+ {}=5, representa casi siempre un solo valor que har� que la ecuaci�n sea un m afirmaci�n verdadera, Dos cuadrados para (los inc�gnitas o entrada y salida de una "maquina funci�n". ", permiten distinguir qu� conjuntos de parejas ordenadas satisfacen la ecuaci�n. Es posible que los alumnos lleguen a pensar que' y implica determinada X, y que' X se necesita para producir una y deseada. En cualquier caso se deben emplear tablas y gr�ficas, mas que ecuaciones, para investigar las relaciones entre dos variables
Al terminar el quinto grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
Durante estos a�os, los alumnos pueden comenzar a entender lo que significa investigar las relaciones entre distintas cantidades, represent�ndolas por medio de s�mbolos y manipulando los enunciados que relacionan estos s�mbolos, aunque en s� mismos todav�a no est�n listos para manejar las ecuaciones algebraicamente. Esto suceder� si se les muestran ecuaciones sencillas que representan algunas de las relaciones que puedan deducir de tablas y gr�ficas que hayan hecho, y si pueden aprender a resolver las ecuaciones mediante sustituci�n num�rica o "tanteo". Se sugiere el empleo de la sustituci�n debido al siguiente razonamiento de un alumno al ser confrontado con un problema en el que se requiere saber algo de �lgebra:
Necesito saber cu�nto tardar� un objeto en caer 3 metros. La ecuaci�n que relaciona la altura recorrida con el tiempo es s =1/2at2. �Por qu� se usa s y no d para representar la distancia? Bien, no importa, siempre que se sepa lo que significa. Conozco s y a, pero deseo calcular el valor correcto de t. Probablemente haya un modo de replantear esta ecuaci�n para obtener t, pero no estoy seguro de mi destreza para poderlo hacer bien. As� que veamos si puedo calcular qu� valor de t dar�a como resultado 3 metros para s. �1 segundo?, no, el resultado ser�a m�s de 4.5 metros. �1/2 segundo'?, tampoco, t se eleva al cuadrado y el resultado es 1.20 metros. Probaremos algo intermedio: �2 1/4 de segundo? qu� bien, casi son 3 metros. Es suficiente para mi objetivo: una ca�da de 3 metros dura un poco m�s que 2/4 de segundo. (O bien, si se necesitara m�s exactitud, "3/4 equivale a 0.75, as� que probemos con 0.80...")
Al elaborar un esquema que represente la experiencia del alumno con las tendencias y la regularidad, se debe subrayar la investigaci�n de las funciones; es la noci�n b�sica de que los cambios de una variable dan como resultado cambios en otra. Sin embargo, como dictan las Normas NCTM, en este nivel "el trabajo con tendencias debe subrayar casos concretos, ser informal y relativamente libre de simbolismo". Es m�s importante investigar la noci�n de funci�n, incluyendo los valores m�ximos y m�nimos, el comportamiento en valores especiales de inter�s, como cero, o las tendencias hacia valores limite, etc., que la representaci�n simb�lica formal. El concepto de variable, tan sutil en matem�ticas, es de dif�cil comprensi�n. Hasta los veteranos en �lgebra pueden imaginarse a las variables s�lo mediante determinados valores num�ricos. Se pueden usar letras como variables para representar unidades sencillas (P representa un profesor, no cierta cantidad de profesores. No se deben introducir las variables a trav�s de definiciones abstractas, sino por medio de casos del mundo real, situaciones cotidianas en las que los alumnos puedan comprender y quiz�s hasta interesarse en la s m�ltiples posibilidades de su valor.
Al terminar el segundo grado de ense�anza media los alumnos deben saber que:
Los alumnos deben practicar con representaciones tabulares, gr�ficas y simb�licas y pasar de una a otra, y les debe pedir que describan sus tablas, gr�ficas y ecuaciones en lenguaje claro. Con ayuda de calculadoras y computadoras deben explorar los efectos al cambiar los t�rminos de una ecuaci�n sobre el comportamiento general de su gr�fica. La tecnolog�a de c�mputo permite que las escuelas proporcionen un conjunto muy rico de experiencias sobre �lgebra como nunca antes. Los alumnos deben pasar menos tiempo graficando las curvas punto por punto, y m�s tiempo en interpretarlas, investigar sus propiedades y determinar la forma en que �stas se relacionan con las formas de las ecuaciones correspondientes. No est� por dem�s que los alumnos sigan graficando algunos puntos, para comprobar que sus gr�ficas sean razonables.
Para modelar fen�menos, los alumnos deben encontrarse con una variedad de tipos comunes de relaciones, representadas en gr�ficas, como proporciones directas, inversas, curvas de aceleraci�n y desaceleraci�n (o de saturaci�n), y m�ximos y m�nimos, y de ah� desarrollar el h�bito de emplear esas posibilidades al considerar la forma en que se relacionan dos cantidades. Sin embargo, ninguno de estos t�rminos es necesario al principio. Es perfectamente correcto decir: "Es m�xima aqu� y menor a cada lado", o "contin�a creciendo, pero no tan r�pido como antes", en especial cuando se pueden describir los fen�menos que se comportan de ese modo.
Durante la ense�anza media los alumnos deben encontrarse con el concepto de que una cantidad se puede relacionar, no con el valor de otra cantidad sino con su rapidez de cambio, como la fuerza con el cambio de velocidad, o el "campo" el�ctrico inducido con la rapidez de cambio del campo magn�tico. Hay tambi�n muchos ejemplos en donde la rapidez de cambio de una cantidad es proporcional a esa misma cantidad (por ejemplo, el decaimiento radiactivo, el inter�s compuesto o el crecimiento ilimitado de la poblaci�n). Antes, cuando no se dispon�a de calculadoras, esa rapidez tan cambiante se hubiera manejado, para fines de conocimiento, como un caso de multiplicaci�n sucesiva.
Al terminar el tercer grado de ense�anza media superior los alumnos deben saber que:
Mucho antes de poder emplear el lenguaje de la geometr�a, los ni�os deben percatarse de las formas. Antes de iniciar su educaci�n formal ya han tenido muchas experiencias con puntos, l�neas, planos y espacios, y es en la escuela donde necesitan ampliar esos conocimientos, desarrollando el sentido espacial y aprendiendo a ver el mundo a trav�s de los ojos de la geometr�a, para construir, dibujar, medir, visualizar, comparar, describir y transformar cosas. La progresi�n de experiencias debe llevar a los alumnos desde el reconocimiento de formas como totalidad hasta distinguir propiedades expl�citas de las formas, y posteriormente, al an�lisis de las relaciones entre las formas.
Del nivel preescolar al segundo grado de ense�anza elemental
Las actividades de los ni�os en estos grados se limitan a coleccionar y construir cosas, por lo que tendr�n muchas oportunidades para pensar en la forma. Deben hacer dibujos de lo que coleccionan y observan fuera de la clase, para despu�s analizarlos desde muchas perspectivas, como color, tama�o y, naturalmente, forma. Primero, los alumnos tienden a describir la forma de una cosa compar�ndola con otra: una canica tiene la misma forma que una pelota; una hoja de papel es como una alfombra; una cuerda de brincar como un cord�n de zapatos, etc. A medida que organizan diversas cosas que tienen m�s o menos la misma forma comenzar�n a necesitar nombres de las propiedades comunes.
El arte tiene mucha importancia para desarrollar el sentido espacial. Los alumnos deben formar im�genes bidimensionales reconocibles (caras, personas, casas, camas, etc.), empleando s�lo rect�ngulos, tri�ngulos y circunferencias, para despu�s invertir el proceso: identificar las mismas formas en las representaciones de las cosas. Tambi�n se puede comenzar estableciendo la base de la introducci�n, despu�s de la idea de la simetr�a, haciendo que practiquen el trazo de figuras de determinado objeto, geom�tricamente simple, en el que su posici�n se haga girar o el observador cambie de posici�n. Y, en todo lo anterior deben tener tareas descriptivas que requieran el empleo de palabras como arriba, abajo, atr�s, dentro, fuera y "de cabeza".
Al terminar el segundo grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
La descripci�n geom�trica de los objetos comprende el tama�o, la orientaci�n, la simetr�a y las proporciones, al igual que la forma. Los alumnos deben comenzar a emplear todas estas propiedades para describir y dise�ar cosas, para aumentar su acervo de formas y conceptos geom�tricos con los que est�n familiarizados. Los conceptos de �rea y volumen se deben desarrollar primero en forma concreta y pasar a los procedimientos de c�lculo s�lo cuando se hayan comprendido bien los conceptos y algunos de sus usos pr�cticos. Graficando, se pueden ayudar a captar algunas de las relaciones entre cantidad, forma y posici�n.
Al terminar el quinto grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
La capacidad l�gica cada vez mayor de los alumnos de estos niveles permite hacer inferencias y deducciones l�gicas a partir de problemas geom�tricos. Deben investigar y emplear ideas geom�tricas, m�s que memorizar definiciones y f�rmulas. La semejanza y la congruencia las pueden investigar mediante transformaciones. Las figuras deben estar orientadas de diversas formas para ayudar a formar generalizaciones que no tengan orientaciones preferidas. Esto es especialmente c�modo mediante programas de c�mputo que lleven a cabo "giros" y "estiramientos". Tambi�n, con las fotograf�as, proyectores de cuernos opacos y fotocopiadoras se pueden disminuir y aumentar las formas.
Al investigar c�mo cambian con el tama�o las mediciones lineales, las �reas y los vol�menes, fortalecer�n sus conceptos y se ayudar�n, en general, en su avance hacia el concepto de escala que se describe en el Capítulo 11. En esta etapa, la mayor parte de los alumnos espera que el �rea y el volumen cambien en proporci�n directa a su tama�o lineal.
El aprendizaje de determinar lugares en la realidad y en los mapas, empleando coordenadas rectangulares y polares, puede contribuir a entender la escala c ilustrar una de las relaciones importantes entre los n�meros y la geometr�a. Asimismo, la forma se relaciona mucho con las mediciones espaciales. Los alumnos deben tener gran experiencia en medir y calcular per�metros, �reas, vol�menes y �ngulos, escogiendo las unidades y las herramientas de medida adecuadas. Hasta donde sea posible, esas actividades se deben practicar por medio del dise�o y la construcci�n de diversas cosas.
Al terminar el segundo grado de ense�anza media los alumnos deben saber que:
Se deben encontrar demostraciones deductivas en las discusiones de prueba en un contexto mayor que la geometr�a. �C�mo sabe la gente que es cierto algo que se ha "demostrado?", �Es igual en astronom�a que en biolog�a, en qu�mica que en leyes, en geometr�a que en �lgebra? La naturaleza de la l�gica y la evidencia son temas que deben surgir con frecuencia en la ciencia, la historia, los estudios sociales y las matem�ticas. Aunque no es posible ense�ar a todos a deducir demostraciones euclidianas, deben aprender algo de lo que encierran �stas y la raz�n de su importancia en matem�ticas.
Las computadoras tienen gran utilidad en esta etapa; los alumnos las deben emplear para investigar formas complicadas en tres dimensiones: 1. analizar la geometr�a de los objetos de su inter�s; 2. resolver problemas de escala y 3. graficar los datos de sus actividades cient�ficas. No obstante, las computadoras nunca podr�n sustituir a la experiencia directa. Por ejemplo, los alumnos deben tener oportunidades para resolver problemas que requieran triangulaci�n, como la experiencia cl�sica de calcular la distancia a trav�s de un r�o o a la Luna, que se puede hacer con dibujos a escala. Tambi�n deben hacer algo de mecanizaci�n de dibujo al estilo tradicional antes de usar las posibilidades gr�ficas de la computadora.
Al terminar el tercer grado de ense�anza media superior los alumnos deben saber que:
En el Capítulo 9 de Ciencia: Conocimiento para todos, las secciones sobre la incertidumbre, el resumen de datos y el muestreo, son importantes en el aprendizaje del manejo de la evidencia. Se debe hacer una diferencia esencial en esta meta, al igual que en otras, de lo que se espera comprendan los alumnos, o sea que noten, comenten y critiquen, y de lo que se pretende que hagan por s� mismos. como planear y realizar. B�sicamente, se intenta convertirlos en consumidores importantes de datos, no en productores. Por ejemplo, deben saber que la gente puede estar condicionada contra posibles prejuicios al elegir muestras seleccionadas por otros, pero pueden ser incapaces de tomar las precauciones adecuadas contra el prejuicio (en estad�stica se llama sesgo) al dise�ar un estudio por s� mismos.
En esta meta se esconden algunas nociones dif�ciles, aun para algunos adultos. Un malentendido com�n es creer que los promedios siempre son representativos de una poblaci�n. Se pone poca o ninguna atenci�n a la amplitud (los l�mites) de la variaci�n en torno a los promedios. Este punto tiene mucha importancia cuando se comparan grupos, por ejemplo, al enunciar una diferencia min�scula (pero cre�ble) en el promedio x para hombres y mujeres en frases como los hombres tienen x alto, mientras que las mujeres tienen x bajo". Por ello, es esencial que cuando se hable de promedios siempre se agregue alguna indicaci�n de la distribuci�n real de los datos. No vale la pena hablar de promedios hasta que no surja una pregunta en la que la respuesta adecuada sea mediante un promedio. Algunos estudios de investigaci�n sugieren que el aprendizaje de un algoritmo separado de un contexto con significado, tiende a bloquear a los alumnos y dif�cilmente les permite entender, para qu� son los promedios.
Otro malentendido es la hip�tesis de que las variables se relacionan siempre con causas y efectos. Cuando se les dice a los adultos que hay una correlaci�n entre dos variables, casi siempre piensan en una causa, o a creer en la causa que se les mencione. Una correlaci�n entre A y B siempre debe inducir a considerar cuatro hip�tesis: 1. A puede causar B; 2. B puede causar A; 3. A y B mutuamente pueden no causarse, pero ambos pueden tener a C como causa com�n, y 4. tan s�lo la suerte puede haber� producido la dependencia aparente. Quiz� no haya mayor contribuci�n de las matem�ticas a la ilustraci�n cient�fica que el est�mulo de la comprensi�n de qu� es una correlaci�n y qu� no lo es.
Una de las malas interpretaciones que deben manejar los profesores acerca de la probabilidad, es que la historia reciente cambia una probabilidad bien establecida. Las personas tienden a creer, por ejemplo, que una moneda que ha ca�do cara diez veces seguidas tendr� m�s probabilidad en el siguiente volado de caer cruz y no cara, y que el n�mero de la loter�a que sali� la semana pasada tiene menor probabilidad de salir esta vez. Esta y otras confusiones acerca de la probabilidad son puramente matem�ticas y se pueden utilizar como tales, pero tambi�n es importante manejar algunas preguntas relacionadas con la forma en la que se establecen las probabilidades. Los ejemplos deben provenir de la medicina, las cat�strofes naturales como inundaciones y sismos, los patrones del clima, los eventos deportivos y de la bolsa de valores, las elecciones y otros contextos muy concretos.
Del nivel preescolar al segundo grado de ense�anza elemental
En los primeros grados los estudiantes pueden comenzar el aprendizaje de tal manera que adquieran una idea positiva sobre las estad�sticas cotidianas. A este nivel, los ni�os pueden agrupar las cosas que re�nen de acuerdo con su tama�o y su peso, para despu�s preguntar algo acerca de �stas, como por ejemplo cu�l est� enmedio, cu�ntas son iguales, etc. De aqu� en adelante pueden trazar pictogramas sencillos que muestren c�mo se distribuye una variable conocida y de nuevo preguntar acerca de la distribuci�n. Pueden comenzar a conocer el muestreo en el contexto, digamos, de informar los tipos de piedras que encontraron en el patio de juegos.
Los ni�os mantienen seguimiento de muchos y muy diversos fen�menos, algunos se dar�n cuenta que �stos tienen cierta influencia sobre otros. Al trabajar en grupos peque�os, de vez en cuando se les debe pedir repasar su material para ver s� pueden tratar de predecir algunos eventos en el futuro. La parte m�s importante de tales ejercicios es que los alumnos exponen las razones de sus predicciones y no que puedan hacer predicciones; naturalmente, deben proseguir para confirmarlas o desechar�as.
Al terminar el segundo grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
Las preguntas que s�lo se exploraron en los primeros grados pueden ser ahora preguntas formales. Se deben estructurar distribuciones de datos de muchas caracter�sticas y cantidades comunes como alturas, pesos, cantidad de parientes o razas de perros. Lo importante que se tiene que subrayar en este nivel es el tipo de preguntas que se pueden hacer y contestar mediante una distribuci�n de datos: "�D�nde est� el punto medio?" es una buena pregunta; probablemente "�cu�l es el promedio?" no lo sea. Como hay una idea err�nea, que se presenta hasta en los adultos, de que las med�as son representaciones de los grupos en total, es muy importante dirigir la atenci�n de los alumnos a las preguntas adicionales: "�Cu�les son los valores m�ximo y m�nimo?" y "cu�nto se dispersan los datos a ambos lados de la mitad?" Tambi�n se les debe invitar a que en sus estudios, sugieran algunos casos, que puedan prejuiciar los resultados, por ejemplo, hacer mediciones s�lo de la altura de los componentes del equipo de b�squetbol o reunir �nicamente los insectos f�ciles de capturar.
Al terminar el quinto grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
Del
sexto grado de ense�anza elemental al segundo grado de ense�anza media
Con
base en la experiencia previa, los alumnos pueden entrar con mayor detalle en
la estad�stica. El trabajo se debe relacionar directamente con investigaciones
por parte del alumno y �ste debe emplear computadoras. Como se dice en las Normas
NCTM: En la estad�stica, la instrucci�n se debe enfocar hacia la participaci�n
activa de los alumnos en todo el proceso: formular preguntas clave, reunir y organizar
datos, representar los datos mediante gr�ficas, tablas, distribuciones de frecuencia
y d�cimas (medidas) estad�sticas de resumen; analizar los datos, hacer conjeturas
y comunicar la informaci�n de un modo convincente. La comprensi�n de la estad�stica
por parte de los alumnos tambi�n se ampliar� al evaluar los argumentos de otros.
Los programas de c�mputo con bases de datos son un medio para que los alumnos
estructuren, registren e investiguen la informaci�n, la clasifiquen con rapidez
en diversas categor�as y la organicen en diversas formas. Se pueden emplear otros
programas de c�mputo para formar gr�ficas que representen los datos, as� como
hacer cambios de escala para comparar los puntos de vista distintos sobre la misma
informaci�n. Estas herramientas tecnol�gicas liberan a los alumnos de modo que
tienen m�s tiempo para investigar la esencia de la estad�stica, analizar los datos
desde muchos puntos de vista, hacer inferencias y elaborar y evaluar argumentos.
Los alumnos deben formar distribuciones de muchos conjuntos de datos, los suyos propios o publicados, que ya hayan motivado algunas preguntas significativas. En un conjunto de datos la idea de un promedio se debe estructurar bien, digamos, pidiendo un m�todo sencillo para comparar dos grupos; se deben tener en cuenta las distintas clases de promedios. Se podr� aprender el algoritmo para calcular la med�a pero no sin preguntar, repetidamente, qu� es y qu� no es lo que significa.
Al estudiar los conjuntos de datos se deben hacer preguntas como las siguientes: �Qu� aparece con m�s frecuencia en los datos?, �hay tendencias?, �por qu� hay puntos alejados?, �c�mo poder explicar los datos y permitir que nuestra explicaci�n prediga c�mo ser�n los siguientes?, �qu� dificultades pueden surgir al ampliar la explicaci�n a problemas similares?, y �qu� datos adicionales se pueden reunir para tratar de comprobar las ideas que se hayan desarrollado?
En lo anterior se debe tener en mente la diferencia entre medios y extremos; el fin �ltimo no es convertir a los alumnos en personas competentes en la elaboraci�n de estad�sticas sino hacer que comprendan lo suficiente sobre �stas para poder responder con inteligencia a las afirmaciones basadas en medidas estad�sticas, sin el esfuerzo necesario intenso en el caso que la comprensi�n sea elusiva.
Tambi�n la probabilidad debe continuar en este nivel con el empleo de tablas de frecuencias reales de eventos, que comiencen en el tercer grado y contin�en hasta el quinto. Sin embargo, cada vez se debe pedir a los alumnos que consideren silos datos, que necesariamente se recopilaron en el pasado, siguen siendo aplicables. Por ejemplo, �qu� tan bien se aplican las temperaturas del a�o pasado al actual?
Despu�s de haber tenido muchas ocasiones para contar resultados posibles (como los lanzamientos de un dado) y de discutir su probabilidad igual (�es igualmente probable que salga una cara que cualquiera otra?), los alumnos deben comenzar a tratar generalizaciones acerca de las probabilidades te�ricas. Su atenci�n debe dirigirse hac�a las hip�tesis de que todos los resultados posibles de una situaci�n ya se tomaron en cuenta y son igualmente probables. Se deben usar computadoras para generar datos probables simulados para su an�lisis, pero s�lo despu�s de que los alumnos hayan resuelto problemas en los que usen sus propios datos.
Al terminar el segundo grado de ense�anza media los alumnos deben saber que:
Al crecer la complejidad matem�tica durante estos grados los alumnos son capaces de llevar a cabo y encontrar el sentido de m�s sutilezas en la recopilaci�n, descripci�n e interpretaci�n de los datos. Deben tener m�ltiples oportunidades para planear y llevar a cabo estudios sobre sus propias observaciones y de grandes bases de datos. En sus informes escritos deben aparecer los razonamientos que los llevaron a sus decisiones sobre el m�todo de muestreo y tama�o de la muestra, acerca de los modelos elegidos, de la presentaci�n empleada y de las interpretaciones alternativas. Deben buscar prejuicios de selecci�n, errores de medici�n y distorsi�n en la presentaci�n de las noticias y de sus propios estudios.
Tambi�n es importante la frecuente discusi�n de los informes period�sticos sobre los estudios cient�ficos, en los que los alumnos deben identificar los puntos d�biles y dar interpretaciones alternativas de los resultados, escribiendo sus propias versiones.
Al terminar el segundo grado de ense�anza media los alumnos deben saber que:
En este capítulo la aparici�n del razonamiento no implica, en modo alguno, que se deba ense�ar s�lo en las clases de matem�ticas. En realidad, se debe estudiar el razonamiento en todos los cursos de ciencias, de ciencias sociales y en todos en los que se ense�e la manera cr�tica de pensar. Parte de lo que debe lograrse es que los alumnos adquieran el tipo de comprensi�n de la l�gica deductiva que se necesita para diferenciar la buena de la mala deducci�n, entre las divergencias de las personas. Deben percatarse tambi�n por qu� es tan importante el razonamiento en las matem�ticas. Otra parte de la agenda del razonamiento debe tratar la l�gica inductiva, es decir, llegar a generalizaciones a partir de casos y sus usos en la ciencia y la vida cotidiana. Es importante adem�s que perciban bien las limitaciones de esa l�gica debido a la tendencia tan difundida que tienen de presentar un ejemplo como demostraci�n. No obstante la importancia de que los alumnos lleguen a comprender la naturaleza de la l�gica, es esencial que aprendan c�mo usar la l�gica y la evidencia para formar argumentos v�lidos y persuasivos a fin de juzgar los argumentos de otros. Esto ser� posible silos alumnos practican mucho la formulaci�n de argumentos, su presentaci�n ante sus compa�eros, la respuesta a sus cr�ticas, y la cr�tica de razonamientos ajenos. Adem�s, esta experiencia se debe formar durante muchos a�os, ya que cada vez es m�s compleja a medida que aprenden a organizar la evidencia, y debe tener un lugar en el contexto de problemas y asuntos interesantes que surjan en las ciencias sociales y en las clases de ciencias y matem�ticas.
Del nivel preescolar al segundo grado de ense�anza elemental
En el nivel de iniciaci�n, la meta es que los alumnos desarrollen expectativas acerca del razonamiento m�s que adquirir destreza en �ste. Debe ser rutinaria la pregunta "�c�mo lo sabes?", porque los ni�os deben habituarse a ella y sentirse seguros al contestarla. Aqu� no es importante todav�a la calidad de la respuesta, aunque a veces debe discutirse lo que es m�s cre�ble en las respuestas de otros. Las actividades cient�ficas dan oportunidades diarias para adquirir pr�ctica en identificar la evidencia.
Al terminar el segundo grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
Del
tercero al quinto grados de ense�anza elemental
La calidad de la respuesta comienza a ser m�s importante a "�c�mo lo sabes?". Cuando se le pide al ni�o una raz�n de su afirmaci�n es probable que tan s�lo repita la afirmaci�n con m�s �nfasis ("es porque ), o recurra a una autoridad ("as� dice mi hermano mayor"). En este caso, no se aconseja menospreciar a "sus autoridades", pero s� se puede cuestionar sutilmente esa autoridad ("�cu�les supones que sean sus razones?". El respaldo de afirmaciones con razones lo debe modelar el profesor. En las clases de ciencias pueden surgir preguntas en las que se piense en un argumento con evidencia inadecuada. Los profesores entonces pueden guiar al acierto con preguntas como: "�crees que seria mejor reunir m�s muestras?", "si repitieras la investigaci�n, �crees que suceder�a lo mismo?", "�qu� prueba podr�a cambiar tu idea?". En este nivel los alumnos todav�a razonan en forma concreta, pero quiz�s ya se les pueda presentar el razonamiento por analog�a; al principio, las analog�as deben ser simples y obvias; la atenci�n se debe enfocar hacia c�mo se asemeja y diferencia lo que se estudia. Reflexionar sobre las analog�as no debe provocar que los alumnos analicen tanto que se aparten de su sentido po�tico. Las analog�as se deben emplear libremente en la especulaci�n y en la expresi�n art�stica, pero cuando se emplean como base de un argumento se deben poner a prueba. ("Mi amor es como una roja, roja rosa; por tanto
Al terminar el quinto grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
Muchos alumnos pueden pensar en forma m�s abstracta en los grados intermedios que en los primeros. Por consiguiente, ya pueden considerar con m�s detalle los principios del razonamiento y comenzar a apreciar la parte medular de la l�gica en el razonamiento claro, ya que hasta ahora la calidad de evidencia hab�a sido lo m�s importante para respaldar una afirmaci�n. Este avance permitir� insistir sobre el uso cuidadoso de determinadas palabras como si... entonces... y, o, no, todo y algo.
Las ciencias y las matem�ticas son los caminos m�s adecuados para aplicar la l�gica, pero no son los �nicos; el dise�o de proyectos y la localizaci�n de fallas en objetos y sistemas mec�nicos conducen tambi�n. a excelentes oportunidades de aplicaci�n y tienen la virtud de retroalimentar en forma concreta. En las ciencias sociales, los alumnos deben examinar su empleo para recuperar informaci�n en las bases de datos, as� como en controversias pol�ticas y sociales.
Al terminar el segundo grado de ense�anza media los alumnos deben saber que:
En la l�gica formal, para transferir la destreza a casos del mundo real, se requiere una gran pr�ctica; los alumnos deben criticar con regularidad lo que se afirma en los medios de comunicaci�n, en particular los noticiarios, editoriales, cartas al editor y anuncios, evaluando la calidad de los argumentos que se exponen. Los alumnos deben ser capaces de identificar las premisas, expl�citas o no, la l�gica y la evidencia empleadas para despu�s evaluar la afirmaci�n. Tambi�n deben ser capaces de indicar d�nde se usa algo que no sea un argumento s�lido para convencer al lector, escucha o espectador. En la historia se pueden encontrar casos documentados del empleo, a gran escala, de buena y mala l�gica.
Al terminar el tercer grado de ense�anza media superior los alumnos deben saber que:
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