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2. LA
NATURALEZA DE LAS MATEM�TICAS
| Las
matem�ticas dependen tanto de la l�gica como de la creatividad, y est�n regidas
por diversos prop�sitos pr�cticos y por su inter�s intr�nseco. Para algunas personas,
y no s�lo para los matem�ticos profesionales, la esencia de esta disciplina se
encuentra en su belleza y en su reto intelectual Para otros, incluidos muchos
cient�ficos e ingenieros, su valor principal estriba en la forma en que se aplican
a su propio trabajo. Ya que las matem�ticas juegan ese papel central en la cultura
moderna, es indispensable una comprensi�n b�sica de ellas en la formaci�n cient�fica.
Para lograr esto, los estudiantes deben percatarse de que las matem�ticas forman
parte del quehacer cient�fico, comprender la naturaleza del pensamiento matem�tico
familiarizarse con las ideas y habilidades de esta disciplina.
CIENCIA: CONOCIMIENTO PARA TODOS | ||
Al igual que la ciencia de patrones y relaciones, las matem�ticas comparten muchas de las caracter�sticas de otras ciencias, como ya se describi� en el Capítulo 1. Las similitudes particularmente relevantes son la creencia en el orden subyacente, los ideales de honestidad y de claridad en el informe de investigaci�n, la importancia de la cr�tica de los nuevos trabajos, y el papel esencial que juega la imaginaci�n. Las matem�ticas tambi�n se parecen a la ciencia y a la tecnolog�a en que incorporan tanto la b�squeda de respuestas a preguntas b�sicas como la soluci�n de problemas pr�cticos.
La riqueza y la ubicuidad de las matem�ticas se destaca en el Proyecto 2061. Una clave de acceso al Proyecto es evidente tanto en Ciencia: Conocimiento para todos como en Avances en el Conocimiento Cient�fico. En ambas obras, el Capitulo 2 se�ala lo que los estudiantes deben saber como un esfuerzo �nico; el Cap�tulo 9 recomienda qu� ideas matem�ticas deber�n adquirir; el Cap�tulo 11 presenta algunos conceptos matem�ticos importantes, como la escala y los modelos, que son muy �tiles como instrumentos anal�ticos, y el Cap�tulo 12 enlista las habilidades matem�ticas, cient�ficas y tecnol�gicas, que necesitan para manejar eficazmente los asuntos pr�cticos del quehacer cotidiano. Por supuesto, el plan de estudio no separar�a el conocimiento te�rico del pr�ctico de esa manera.
En realidad, es en el dise�o del plan de estudio donde se hallar� la otra clave de acceso al Proyecto 2061 para las matem�ticas. Como se describir� de manera completa en el informe Designs for Science Literacy, casi todos los elementos de un plan de estudio del Proyecto 2061 incluir�n las matem�ticas. Los estudiantes las encontrar�n en todos los niveles, las aprender�n y las percibir�n impl�citas y expl�citas en muchas materias-temas y en el contexto del mundo real.
El Universo est� conformado por galaxias, monta�as, criaturas, veh�culos, etc., cada una aparentemente �nica. Adem�s, es una cuesti�n ca�tica en la que esas cosas se entrelazan de muchas maneras, a menudo violentamente, pero a veces con gran sutileza. Sin embargo, gracias a las matem�ticas, las personas pueden pensar en el mundo de los objetos y los sucesos, y comunicar esas ideas en formas tales que revelen unidad y orden.
Los n�meros, l�neas, �ngulos, formas, dimensiones, promedios, probabilidades, proporciones, operaciones, ciclos, correlaciones, etc., que conforman el mundo de las matem�ticas, permiten hallar el sentido de un universo que de otra manera podr�a parecer totalmente complicado. Durante siglos se han desarrollado y refinado los patrones y relaciones matem�ticas, y el proceso es hoy tan vigoroso y productivo como en cualquier tiempo en la historia, quiz� sea porque las matem�ticas actuales se utilizan en m�s �reas que antes, y tambi�n porque se han vuelto esenciales en la vida cotidiana.
Para los fines de la cultura cient�fica general, es importante para los estudiantes: 1. entender en qu� sentido las matem�ticas son el estudio de patrones y relaciones; 2. familiarizarse con algunos de esos patrones y relaciones, y 3. aprender a usarlos en la vida diaria. Los dos �ltimos conceptos se estudian m�s conjuntamente que en secuencia. No se ha comprobado que sea eficaz el aprendizaje abstracto de las matem�ticas antes de intentar ponerlas en pr�ctica. De esta forma, el plan de estudio deber� adaptar la instrucci�n de tal manera que los estudiantes encuentren cualquier patr�n o relaci�n matem�tica en muchos contextos diferentes: antes, durante y despu�s de su introducci�n a las matem�ticas mismas. En lo sucesivo, con el fin de lograr la meta de la comprensi�n de la naturaleza de las matem�ticas, los estudiantes deber�n tener una oportunidad en las matem�ticas para reflexionar sobre la naturaleza de los patrones y relaciones de una manera puramente abstracta. Los archivos de ejemplos, individuales o de grupo, de los patrones y relaciones recabados al paso del tiempo, pueden utilizarse como materia prima para reflexionar sobre c�mo las matem�ticas definen un patr�n o relaci�n de tal forma que trascienda y sea m�s poderoso que las instancias individuales.
Generalmente, las ideas individuales, creadas y utilizadas por los matem�ticos, se han conjuntado a menudo por razones pedag�gicas, as� como por las estrictamente conceptuales, en familias como la aritm�tica, geometr�a, �lgebra, trigonometr�a, estad�stica y c�lculo. Los matem�ticos buscan patrones y relaciones que unan ideas diferentes (patrones y relaciones) dentro de tales familias y entre las aisladas. Pocos logros en matem�ticas son tan gratificantes como mostrar que lo que anteriormente se cre�a como dos partes separadas de las matem�ticas son paralelas, o ejemplos diferentes de una formulaci�n �nica, m�s abstracta. Si fuera posible, todos los estudiantes deber�an tener la experiencia de descubrir por s� mismos que una idea puede representarse en formas diferentes pero an�logas.
Un m�todo de investigaci�n sobre c�mo aprende la gente destaca la utilidad de hacer representaciones m�ltiples de la misma idea y de cambiar de una a otra. Cuando un estudiante comienza a representar una relaci�n en tablas, gr�ficas, s�mbolos y palabras, se puede confiar en que realmente ha comprendido su significado. Y, como reza la teor�a, la manera en que los estudiantes aprenden a hacer esas representaciones y translaciones es vi�ndolas y practic�ndolas en contextos en los que se preocupen por saber cu�l es la respuesta. Los alumnos comprometidos con este tipo de actividad, obtendr�n finalmente la idea de la conectividad en matem�ticas -aunque ocasionalmente revisen su propio trabajo y reconozcan las m�ltiples conexiones que lograron.
Del
nivel preescolar al segundo grado de ense�anza elemental
Los alumnos de los primeros grados piensan de manera concreta. Tienen poco inter�s en las materias como las matem�ticas, la ciencia y la tecnolog�a, pero regularmente responden de manera positiva al reto de aprender y manejar n�meros, identificando formas y patrones sencillos, recabando, creando y describiendo cosas. En alg�n momento, obviamente, necesitan discernir entre los diversos tipos de ideas y actividades: unas matem�ticas, otras cient�ficas, y algunas m�s tecnol�gicas. Pero cuando esto ocurre, es menos importante que si desde el inicio los ni�os estudien n�meros, formas y operaciones simples y que trabajen con tantos y diferentes contextos como sea posible.
Al terminar el segundo grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
Si una estrategia b�sica para aprender acerca de la naturaleza de las matem�ticas es reflexionar sobre cosas ya aprendidas en diversos contextos, una posibilidad seria tener una lista en el sal�n de clases con el encabezado "Qu� podemos hacer en las matem�ticas", a la cual podr�an agregarse nuevos temas mes con mes. De vez en cuando, los temas podr�an agruparse o mostrar que son subgrupos de otros, o que son similares a aquellos en otras listas llamadas "Qu� hacemos en la ciencia" y "Qu� hacemos en el lenguaje". Si no se han de considerar diferencias de una materia, una alternativa seria utilizar "N�meros que hemos usado", "Formas que hemos usado (o realizado)", "Observaciones que hemos hecho", y as� sucesivamente.
Las listas de matem�ticas podr�an, por ejemplo, primero incluir cuenta, medici�n, estimado y ver forma en las cosas; despu�s suma, resta, etc.; posteriormente, los estudiantes podr�an agrupar suma, resta, etc., con hacer operaciones con n�meros, y conjuntar hacer gr�ficas, desplegar datos, y comparar dos grupos de datos con analizar datos. La medici�n tendr�a que incluirse en las listas de matem�ticas y de ciencia, como la mayor�a de las partidas de datos, y demostrar los enlaces. Los temas como buscar patrones, describir relaciones y dar razones aparecer�an en la lista de lenguaje as� como en las otras listas. De esta forma. los estudiantes construir�an su propio inventario de matem�ticas y tendr�an una historia de lo que estuvieran aprendiendo; as�, los alumnos de reciente ingreso tendr�an una idea de qu� conceptos (lenguaje) se esperar�a de ellos.
Al terminar el quinto grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
En los primeros grados los alumnos estudiaron patrones matem�ticos y sus relaciones y, con optimismo, en otras clases tambi�n. Hasta ahora, deben haber acumulado experiencia en la elaboraci�n de tablas de datos, gr�ficas, bosquejos geom�tricos, y usarlos junto con s�mbolos y un lenguaje claro, para describir una amplia variedad de patrones y relaciones. Por tanto, est�n preparados para concentrarse m�s intensamente que antes en la soluci�n creativa de problemas matem�ticos, y para empezar a desarrollar un sentido de c�mo los matem�ticos realizan su trabajo.
Los estudiantes comienzan por reflexionar sobre qu� hacen en matem�ticas; deber�n proponer en equipo soluciones a problemas y compararlas entre s�, defendiendo y analizando las diferencias. Deber� motivarse a los grupos para que inventen algunos m�todos propios para hacer c�lculos. Por ejemplo, cuando se obtiene un resultado podr�a ser el reconocimiento de que funciona el m�todo utilizado. Sin embargo, otros grupos podr�an desarrollar cuestionamientos acerca de cu�l m�todo es el mejor -experimentando, por ende, algo del debate generado a lo largo de la historia por los desacuerdos sobre abstracciones matem�ticas. Las investigaciones de los conjuntos de datos deber�n permitir a los equipos hallar relaciones diferentes o hasta contradictorias. Los alumnos tambi�n pueden empezar a inventar sus propios problemas y percatarse de c�mo difieren de aquellos que otros estudiantes encuentran interesantes.
Para muchos alumnos, las matem�ticas m�s "elegantes" podr�an parecer las m�s complicadas. Es necesaria la repetici�n para establecer que la manera m�s sencilla de representar y relacionar las ideas es, a menudo, lo que m�s valoran los matem�ticos. No obstante, una conexi�n matem�tica sencilla pudo haberse hallado por medio de un estudio muy confuso y prolongado, lo cual puede incluir pasar de una parte del problema a otra, y algunas veces llegar a ninguna respuesta.
Al terminar el segundo grado de ense�anza media los alumnos deben saber que:
Regularmente, no existe un modo �nico para resolver un problema matem�tico; los m�todos diferentes tienen ventajas y desventajas diversas.
Del
tercer grado de ense�anza media al tercer grado de ense�anza media superior
Adem�s de reflexionar sobre la experiencia personal para resolver problemas, los estudios de casos de c�mo se han hecho los avances en matem�ticas pueden utilizarse para presentar algunas de las caracter�sticas principales de c�mo funcionan y los tipos de patrones y relaciones que han resultado de la investigaci�n. Los alumnos pueden, ocasionalmente, descubrir las matem�ticas por ellos mismos, y aunque probablemente tales descubrimientos no sean novedosos, se tendr� que trabajar mucho para lograr que se convierta en un talento para las matem�ticas. Comprender la naturaleza de las matem�ticas actuales, que a�n siguen comprometidas con la elucidaci�n de nuevos patrones y relaciones, es un desaf�o para casi todos los estudiantes. Las matem�ticas te�ricas modernas pueden ser sugeridas por el tipo de problemas pr�cticos que ayuden a resolver -el coloreado de mapas, la optimizaci�n de las rutas a�reas, y la recuperaci�n del detalle a partir de im�genes borrosas-. Si los estudiantes creen que quiz� las abstracciones relevantes para una situaci�n pr�ctica sean id�neas para otras, hacer la transici�n pedag�gica de lo aplicado a lo abstracto no puede debilitar el concepto de que el inter�s del matem�tico es te�rico.
Al terminar el tercer grado de ense�anza media superior los alumnos deben saber que:
B.
Matem�ticas, ciencia y tecnolog�a
Gran parte de las matem�ticas se hace debido a su inter�s intr�nseco, sin importar su utilidad. No obstante, la mayor parte s� tienen aplicaciones, y mucho del trabajo es provocado por los problemas aplicados. La ciencia y la tecnolog�a aportan una gran parte de tales aplicaciones. Al hacer su trabajo, los cient�ficos e ingenieros tratan de hacer algunas matem�ticas �tiles o pueden recurrir a los matem�ticos para su ayuda, que puede ser sugerir algunas matem�ticas ya aceptadas o desarrollar otras para hacer el trabajo. Por un lado, han surgido notables descubrimientos para encontrar nuevas aplicaciones para las matem�ticas m�s antiguas. Por otro, las necesidades de las ciencias naturales o de la tecnolog�a a menudo han llevado a la formulaci�n de nuevas matem�ticas.
Del nivel preescolar al segundo grado de ense�anza elemental
En los grados iniciales, los estudiantes hacen observaciones, coleccionan y ordenan cosas, usando herramientas y otros objetos para manipularlos. Est�n, dentro de su nivel, haciendo ciencia y utilizando la tecnolog�a. En la pr�ctica escolar, la ciencia y la tecnolog�a habr�n de contribuir al entendimiento del valor de las matem�ticas, y �stas deber�n ayudar para hacer ciencia e ingenier�a. Para los estudiantes ser� comprensible la utilidad de las matem�ticas en la ciencia y en la tecnolog�a si la experimentan con frecuencia.
Del
tercero al quinto grados de ense�anza elemental
La interacci�n deber� volverse m�s frecuente y m�s sofisticada al pasar los estudiantes del nivel elemental y medio a grados superiores. La diagramaci�n, la elaboraci�n de tablas y el trazo de escalas deber�n convertirse en pr�ctica com�n en la investigaci�n estudiantil y en los proyectos de dise�o, as� como en el uso de conceptos geom�tricos y matem�ticos tales como la perpendicular, el per�metro, volumen, potencias, ra�ces y n�meros negativos. Los problemas que se utilicen para desafiar a los estudiantes pueden tomar la forma de concursos y juegos, y por lo menos algunos deber�n derivarse directamente de la ciencia y tecnolog�a en estudio.
Sin apuntes para este nivel.
Del
sexto grado de ense�anza elemental al segundo grado de ense�anza media
La ciencia y la tecnolog�a son contextos ricos y especialmente importantes con los cuales se aprende el valor de las matem�ticas y se desarrollan habilidades para la resoluci�n de problemas matem�ticos, pero no son los �nicos: artes, m�sica, estudios sociales, historia, educaci�n f�sica y deportes, educaci�n vial, econom�a dom�stica, etc., son temas apropiados para aprender, as� como para usar las matem�ticas.
Al terminar el segundo grado de ense�anza media los alumnos deben saber que:
Las matem�ticas son �tiles en casi todo tipo de esfuerzo humano - desde colocar ladrillos hasta prescribir un medicamento o dibujar un rostro-. En particular, las matem�ticas han contribuido al progreso de la ciencia y la tecnolog�a por miles de a�os y lo siguen haciendo.
Del
tercer grado de ense�anza media al tercer grado de ense�anza media superior
En este apartado se expondr� a los alumnos ejemplos hist�ricos sobre c�mo las matem�ticas han contribuido al avance de la ciencia y la tecnolog�a -y viceversa-. Los ejemplos son tan numerosos que no existe problema alguno en encontrar los que se relacionen con las matem�ticas que se est�n estudiando. En alg�n momento, deber� ponerse especial atenci�n al uso de modelos matem�ticos tanto en la ciencia como en la tecnolog�a. Igualmente, el plan de estudios necesita dar oportunidades para que los estudiantes examinen expl�citamente la relaci�n de las matem�ticas con la ciencia y la tecnolog�a.
Al terminar el tercer grado de ense�anza media superior los alumnos deben saber que:
�Qu� es lo que hacen exactamente los investigadores matem�ticos? La mayor�a de las personas tienen alguna somera idea de cu�les son sus actividades, ya que las encuentran personal o indirectamente en libros, pel�culas o televisi�n. Sin embargo, tienen poca oportunidad de observarlos trabajando o de pedirles explicaci�n de su trabajo. Es importante para los estudiantes aprender a resolver ciertos tipos de problemas matem�ticos bien definidos, pero eso no significa que autom�ticamente lleguen a un amplio entendimiento sobre c�mo se realiza el proceso de las investigaciones.
Las matem�ticas pueden caracterizarse como un ciclo de investigaci�n que tiene como prop�sito conducir al desarrollo de ideas matem�ticas v�lidas. Ese es el enfoque adoptado en Ciencia: Conocimiento para todos y en esta secci�n de Avances. (Una parte del mismo tema se contempla en el Cap�tulo 11, en el que se considera el uso de modelos matem�ticos junto con los modelos f�sicos y conceptuales.)
Es esencial tener en mente que el descubrimiento matem�tico no es el resultado de un r�gido conjunto de pasos como lo es el descubrimiento en ciencia. Es cierto que las investigaciones matem�ticas tarde o temprano implican ciertos procesos, pero el orden no es est�tico y el �nfasis puesto en cada uno var�a enormemente. Cada una de las tres partes del ciclo -representaci�n, manejo y validaci�n- deben estudiarse en su propio derecho como parte de lo que constituye aprender matem�ticas. Los estudiantes deben tener la oportunidad de utilizar el ciclo completo en el desarrollo de sus propias investigaciones matem�ticas. La finalidad de esta experiencia no es producir matem�ticos profesionales, sino adultos familiarizados con dicha investigaci�n.
Cada parte del ciclo conlleva algunas dificultades de aprendizaje. El proceso de representar algo por un s�mbolo o expresi�n es considerado por muchos estudiantes para referirse s�lo a "cosas reales". "Dejemos que A sea el �rea del suelo de este cuarto" es m�s f�cil de aceptar para los j�venes estudiantes que "Dejemos que y iguale al �rea de cualquier rect�ngulo". En primer lugar, los estudiantes tienen que estar convencidos de que vale la pena el esfuerzo de sustituir los s�mbolos abstractos por cantidades reales. Despu�s necesitan llegar a la comprensi�n de que utilizar s�mbolos para representar abstracciones, y abstracciones de las abstracciones, tambi�n paga con creces en la soluci�n de problemas. Quiz� esto signifique que perciban que en el mundo de las matem�ticas, los n�meros, formas, operaciones, s�mbolos, y los s�mbolos que condensan conjuntos de s�mbolos, son tan "reales" como los bloques, las vacas y los d�lares.
En cuanto al manejo, existen dos condiciones que pueden parecer contradictorias: Una es que siempre existe un conjunto de reglas a las cuales uno debe apegarse estrictamente; la otra, que las reglas pueden crearse. Ah� es donde se encuentran el rigor y el esp�ritu de competir en un juego; imaginar algunas cantidades, asignarles propiedades, seleccionar algunas operaciones, representar todo con s�mbolos, definir un problema y, despu�s, seguir las reglas de l�gica que se han adoptado, cambiar los s�mbolos para ver qu� soluciones aparecen.
Pero, �qu� tan buenas son las soluciones? Depende -y eso es lo que los estudiantes pueden tener como problema para entender-. Est�n acostumbrados a trabajar problemas matem�ticos en los que los procedimientos est�n predeterminados y las respuestas "correctas", esperadas. Pero en las investigaciones matem�ticas reales, una buena soluci�n es la que resulta en nuevos descubrimientos matem�ticos o que lleva a resultados pr�cticos en ciencia, medicina, ingenier�a, comercio o en cualquier �rea. As� que la validaci�n en matem�ticas es un asunto de juicio, no de autoridad. Donde una soluci�n es menos que satisfactoria, puede tener tanto que ver con el sentido de qu� es lo suficientemente bueno o c�mo se formul� el problema, as� como de qu� manera se llev� a cabo.
Del
nivel preescolar al segundo grado de ense�anza elemental
Habr�n de utilizarse de manera rutinaria objetos concretos para ayudar a los ni�os a descubrir y explicar las relaciones simb�licas. Los estudiantes deben comprender que los n�meros y las formas pueden utilizarse para describir muchas cosas en el mundo que los rodea. Eventualmente, deber�n asimilar que as� como las letras y palabras conforman un lenguaje en la lectura y escritura, los n�meros y las formas conforman un lenguaje en matem�ticas.
Al terminar el segundo grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
Los n�meros y las formas pueden usarse para comentar acerca de las cosas.
Del
tercero al quinto grados de ense�anza elemental
El uso rutinario de objetos concretos sigue siendo esencial para ayudar a los estudiantes a relacionar las cosas y los hechos reales con sus representaciones abstractas. La capacidad mental para figurar y hacer cosas aumentar� por la frecuente referencia a aplicaciones en el mundo real. Deber� anim�rseles a describir matem�ticamente todo tipo de cosas -en t�rminos de n�meros, formas y operaciones.
Al terminar el quinto grado de ense�anza elemental los alumnos deben saber que:
Del
sexto grado de ense�anza elemental al segundo grado de ense�anza media
Los estudiantes deben empezar a asignar letras con nombres provisionales de los objetos -matem�ticos o no- con la finalidad de analizarlos cuando no se conozca otro nombre. Gradualmente, la noci�n de un s�mbolo que representa un desconocido particular puede extenderse a su representaci�n de cualquiera de una colecci�n de desconocidos posibles. Indudablemente, los estudiantes a menudo tendr�n que volver a las ideas concretas mientras aprenden nuevas matem�ticas.
Los alumnos deben examinar las limitaciones de algunos modelos matem�ticos para la descripci�n y predicci�n de sucesos en el mundo real. (Los res�ltalos desalentadores del modelo matem�tico pueden deberse a la variaci�n real impredecible, as� como al uso de un modelo matem�tico inadecuado). Deber� estimulares a los j�venes a exponer sus propios criterios sobre lo que es un resultado satisfactorio, y discutir sus juicios en relaci�n con sus prop�sitos.
Debe minimizarse la superficialidad de los problemas, en vista de que no siempre existe una respuesta completamente correcta y que las mejoras y alternativas pueden hacerse mediante el ciclo matem�tico de ensayo, evaluaci�n y revisi�n. Deber� trazarse una distinci�n entre los errores (como la multiplicaci�n imperfecta) y las opciones razonables que resultan desafortunadas (y pueden reconsiderarse).
Al terminar el segundo grado de ense�anza media los alumnos deben saber que:
En caso de que los estudiantes no capten la idea de que siempre existe un mejor modelo matem�tico para cualquier problema cient�fico o tecnol�gico, habr�n de darse oportunidades en las cuales m�s de una descripci�n matem�tica parezca igualmente apropiada. El ciclo matem�tico del razonamiento puede considerarse primero expl�citamente, haciendo que los alumnos revisen la soluci�n de los problemas antes -y despu�s, llamando su atenci�n siempre que se presenten nuevos problemas-. La imagen de algunas matem�ticas como un luego" hecho con reglas arbitrarias, deber� incluir la idea de que la jugada se escoge con la meta de que los resultados ser�n interesantes y ampliamente aplicables. Las reglas del juego no deber�n ser contradictorias -por lo menos no en cualquiera de las aplicaciones intentadas.
Al terminar el tercer grado de ense�anza media superior los alumnos deben saber que:
Algo del trabajo en matem�ticas se parece m�s a un juego -los matem�ticos eligen un interesante conjunto de reglas y despu�s juegan seg�n esas reglas para ver qu� puede suceder-. Mientras m�s interesantes sean los resultados, mejor. El �nico limite para el conjunto de reglas es que no deber�n contradecirse entre s�.
Gran parte del trabajo de los matem�ticos implica un ciclo de dise�o de modelos que consiste en tres pasos: 1. usar abstracciones para representar cosas o ideas; 2. manejar las abstracciones de acuerdo con algunas reglas l�gicas. y 3. verificar qu� tan bien los resultados se asemejan a las cosas o ideas originales. Si la semejanza no se considera suficientemente buena, se puede comenzar una nueva ronda de abstracci�n y manejo. El pensamiento real no necesita pasar por estos procesos en orden l�gico, sino que puede cambiar de uno a otro en cualquier orden.
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