Capítulo 2: LA NATURALEZA
DE LAS MATEM�TICAS

PAUTAS Y RELACIONES

MATEMÁTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGÍA

LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA

Capítulo 2: LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS

PAUTAS Y RELACIONES

Las matem�ticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina te�rica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si �stas tienen hom�logos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser cualquier cosa, desde secuencias de n�meros hasta figuras geom�tricas o series de ecuaciones. Si se propone, por ejemplo, "�forma una pauta el intervalo entre n�meros primos?" como pregunta te�rica, los matem�ticos se interesar�n s�lo en encontrar la pauta o probar que �sta no existe, pero no en buscar la utilidad que podr�a tener tal conocimiento. Cuando se deriva, por ejemplo, una expresi�n para el cambio en el �rea de cualquier cuerpo regular cuando su volumen se aproxima a cero, los matem�ticos no manifiestan inter�s en la concordancia entre los cuerpos geom�tricos y los objetos f�sicos del mundo real.

Una l�nea fundamental de investigaci�n en las matem�ticas te�ricas es identificar en cada campo de estudio un peque�o conjunto de ideas y reglas b�sicas a partir de las cuales puedan deducirse, por l�gica, todas las dem�s ideas y reglas de inter�s en ese campo. Los matem�ticos, como otros cient�ficos, gozan en particular cuando descubren que partes de esa ciencia sin relaci�n previa pueden ser derivables entre si o a partir de una teor�a m�s general. Parte del sentido de belleza que muchas personas han percibido en esta ciencia no radica en hallar la m�s grande perfecci�n o complejidad, sino al contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representaci�n y la comprobaci�n. A medida que las matem�ticas avanzan, se han encontrado m�s y m�s relaciones entre partes que se hab�an desarrollado por separado por ejemplo, entre las representaciones simb�licas del �lgebra y las representaciones espaciales de la geometr�a. Estas interconexiones hacen posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diversas partes de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y unidad esencial de toda la estructura.

Las matem�ticas son tambi�n una ciencia aplicada. Muchos matem�ticos dedican sus energ�as a resolver problemas que se originan en el mundo de la experiencia. De igual manera, buscan pautas y relaciones; en el proceso utilizan t�cnicas similares a las que se emplean en esta ciencia puramente te�rica. La diferencia es en gran medida de prop�sito. En contraste con las matem�ticas te�ricas, las aplicadas, en los ejemplos anteriores, podr�an estudiar la pauta del intervalo de los n�meros primos para desarrollar un nuevo sistema para codificar informaci�n num�rica, m�s que como un problema abstracto. Tambi�n podr�an abordar el problema sobre el �rea/volumen como un paso en la concepci�n de un modelo para el estudio del comportamiento del cristal.

Los resultados de las matem�ticas te�ricas y aplicadas con frecuencia influyen entre s�. A menudo los descubrimientos de los matem�ticos te�ricos tienen un valor pr�ctico no previsto algunas veces d�cadas despu�s. Por ejemplo, el estudio de las propiedades matem�ticas de acontecimientos que ocurren al azar condujo al conocimiento que m�s tarde hizo posible mejorar el dise�o de los experimentos en las ciencias naturales y sociales. Por el contrario, al tratar de solucionar el problema del cobro justo a los usuarios del tel�fono de larga distancia, los especialistas hicieron importantes descubrimientos sobre las matem�ticas de redes complejas. Las matem�ticas te�ricas, a diferencia de otras ciencias, no est�n restringidas por el mundo real, pero a la larga contribuyen a entenderlo mejor.

Debido a su abstracci�n, las matem�ticas son universales en un sentido en que no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones �tiles en los negocios, la industria, la m�sica, la historia, la pol�tica, los deportes, la medicina, la agricultura, la ingenier�a y las ciencias naturales y sociales. Es muy amplia la relaci�n entre las matem�ticas y los otros campos de la ciencia b�sica y aplicada. Ello obedece a varias razones, incluidas las siguientes:

• La relaci�n entre la ciencia y las matem�ticas tiene una larga historia, que data de muchos siglos. La ciencia le ofrece a las matem�ticas problemas interesantes para investigar, y �stas le brindan a aqu�lla herramientas poderosas para el an�lisis de datos. Con frecuencia, los modelos abstractos que han sido estudiados por los matem�ticos, por el puro inter�s que despiertan han resultado ser muy �tiles para la ciencia tiempo despu�s. La ciencia y las matem�ticas est�n tratando de descubrir pautas y relaciones generales, y en este caso ambas son parte del mismo quehacer.
• Las matem�ticas son el principal lenguaje de la ciencia. El lenguaje simb�lico matem�tico ha resultado ser en extremo valioso para expresar las ideas cient�ficas sin ambig�edad. La declaraci�n a = F/m no es s�lo una manera abreviada de decir que la aceleraci�n de un objeto depende de la fuerza que se le aplique y de su masa; sino que es un enunciado preciso de la relaci�n cuantitativa entre esas variables. M�s importante a�n, las matem�ticas proporcionan la gram�tica de la ciencia las reglas para el an�lisis riguroso de ideas cient�ficas y datos.
• Las matem�ticas y la ciencia tienen muchas caracter�sticas en com�n. Estas incluyen la creencia en un orden comprensible; una interacci�n de imaginaci�n y l�gica rigurosa; ideales de honestidad y franqueza; la importancia decisiva de la cr�tica de los compa�eros; el valor atribuido a ser el primero en hacer un descubrimiento clave; abarcar el �mbito internacional; e incluso, con el desarrollo de poderosas computadoras electr�nicas, ser capaz de utilizar la tecnolog�a para abrir nuevos campos de investigaci�n.
• Las matem�ticas y la tecnolog�a tambi�n han desarrollado una relaci�n productiva mutua. Las matem�ticas de las relaciones y cadenas l�gicas, por ejemplo, han contribuido considerablemente al dise�o del hardware computacional y a las t�cnicas de programaci�n. Las matem�ticas tambi�n ayudan de manera importante a la ingenier�a, como en la descripci�n de sistemas complejos cuyo comportamiento puede ser simulado por la computadora. En tales simulaciones, pueden variarse las caracter�sticas del dise�o y las condiciones de operaci�n como un medio para encontrar dise�os �ptimos. Por su parte, la tecnolog�a computacional ha abierto �reas totalmente nuevas en las matem�ticas, aun en la misma naturaleza de la comprobaci�n, y tambi�n contin�a ayudando a resolver problemas anteriormente atemorizantes.

LA INVESTIGACI�N MATEM�TICA

El uso de las matem�ticas para expresar ideas o resolver problemas comprende por lo menos tres fases: 1. representar de manera abstracta algunos aspectos de las cosas; 2. manejar las abstracciones mediante reglas de l�gica para hallar nuevas relaciones entre ellas, y 3. ver si las nuevas relaciones indican algo �til sobre las cosas originales.

Abstracci�n y representaci�n simb�lica

El pensamiento matem�tico comienza con frecuencia con el proceso de abstracci�n esto es, observar una similitud entre dos o m�s acontecimientos u objetos. Los aspectos que tienen en com�n, ya sea concretos o hipot�ticos, se pueden representar por s�mbolos como los n�meros, letras, otros signos, diagramas, construcciones geom�tricas o incluso palabras. Todos los n�meros son abstracciones que representan el tama�o de conjuntos de cosas y sucesos, o el orden de los elementos en una serie. El c�rculo como concepto es una abstracci�n derivada de caras humanas, flores, ruedas, u olas peque�as que se expanden; la letra A puede ser una abstracci�n para el �rea de objetos de cualquier forma, para la aceleraci�n de todos los objetos m�viles o para aquellos que tienen una propiedad espec�fica; el s�mbolo + representa un proceso de adici�n, aun cuando uno se encuentre sumando manzanas o naranjas, horas o millas por hora. Y las abstracciones no se hacen s�lo a partir de objetos o procesos concretos; tambi�n pueden realizarse con base en otras abstracciones, como las clases de n�meros (los n�meros pares, por ejemplo).

Tal abstracci�n permite a los matem�ticos concentrarse en ciertas caracter�sticas de los objetos, adem�s de que les evita la necesidad de guardar continuamente otras en su mente. En lo que a las matem�ticas se refiere, no importa si un tri�ngulo representa el �rea de un velero o la convergencia de dos l�neas visuales sobre una estrella; los matem�ticos pueden trabajar con ambos conceptos de igual manera. El ahorro de esfuerzo resultante es muy �til siempre y cuando al hacer la abstracci�n se ponga cuidado en no soslayar las caracter�sticas que juegan un papel importante en la determinaci�n de los resultados de los sucesos que se est�n estudiando.

Manipulaci�n de los enunciados matem�ticos

Una vez que se han hecho las abstracciones y se han seleccionado las representaciones simb�licas de ellas, los s�mbolos se pueden combinar y recombinar de diversas maneras de acuerdo con reglas definidas con exactitud. En ocasiones, eso se lleva a cabo teniendo en mente un objetivo fijo; en otras, se hace en el contexto de un experimento o prueba para ver lo que sucede. A veces, una manipulaci�n apropiada se puede identificar f�cilmente a partir del significado intuitivo de las palabras y s�mbolos de que se compone; en otras ocasiones, una serie �til de manipulaciones se tiene que resolver por tanteo.

Es com�n que el conjunto de s�mbolos se combine en enunciados que expresan ideas o proposiciones. Por ejemplo, el s�mbolo A para el �rea de cualquier cuadrado se puede combinar con la letra s que representa la longitud del lado del cuadrado, para formar la expresi�n A = s2. Esta ecuaci�n espec�fica de qu� manera se relaciona el �rea con el lado y tambi�n implica que no depende de nada mas. Las reglas del �lgebra com�n se pueden utilizar, entonces, para descubrir que si se duplica la longitud de los lados de un cuadrado, el �rea de �ste se cuadruplica. En s�, este conocimiento hace posible que se descubra lo que le sucede al �rea de un cuadrado sin importar cu�nto var�e la longitud de sus lados y, por el contrario, c�mo cualquier cambio en el �rea afecta a los lados.

El discernimiento matem�tico en las relaciones abstractas ha aumentado a lo largo de miles de a�os y todav�a sigue ampli�ndose y en ocasiones se revisa. Aunque las matem�ticas comenzaron en la experiencia concreta de contar y medir, han evolucionado a trav�s de muchas etapas de abstracci�n y ahora dependen mucho m�s de la l�gica interna que de la demostraci�n mec�nica. Entonces, en cierto sentido, la manipulaci�n de las abstracciones es casi un juego: comenzar con algunas reglas b�sicas, despu�s hacer cualquier movimiento que las cumpla el cual incluye la invenci�n de reglas adicionales y encontrar nuevas relaciones entre las antiguas. La prueba para validar las ideas nuevas consiste en que sean congruentes y se relacionen l�gicamente con las dem�s.

Aplicaci�n

Los procesos matem�ticos pueden llevar a un tipo de modelo de una cosa, a partir de los cuales se obtendr�an profundizaciones de la cosa misma. Cualquier relaci�n matem�tica que se obtenga por medio de la manipulaci�n de enunciados abstractos puede o no transmitir algo verdadero sobre el objeto que se est� modelando. Por ejemplo, si a dos tazas de agua se agregan otras tres, y la operaci�n matem�tica abstracta 2 + 3 = 5 se utiliza para calcular el total, la respuesta correcta es cinco tazas de agua. No obstante, si a dos tazas de az�car se a�aden tres tazas de t� caliente y se realiza la misma operaci�n, cinco es una respuesta incorrecta, pues esa suma da por resultado s�lo un poco m�s de cuatro tazas de t� muy dulce. La simple suma de vol�menes es apropiada para la primera situaci�n, pero no para la segunda lo que podr�a haberse predicho s�lo conociendo algo sobre las diferencias f�sicas en los dos casos. As�, para utilizar e interpretar bien las matem�ticas, es necesario estar interesado en algo m�s que la validez matem�tica de las operaciones abstractas, as� como tomar en consideraci�n qu� tan bien se corresponden con las propiedades de las cosas que representan.

Algunas veces, el sentido com�n es suficiente para decidir silos resultados de las matem�ticas son apropiados. Por ejemplo, para calcular la estatura de una joven cuando tenga 20 a�os si en la actualidad mide 1.63 m y crece a una tasa de 2.54 cm por a�o, el sentido com�n sugiere rechazar la respuesta simple de "tasa por tiempo" de 2.13 m como muy improbable, y dirigirse a alg�n otro modelo matem�tico, como las curvas que aproximan valores restrictivos. Sin embargo, en ocasiones, puede ser dif�cil saber qu� tan correctos son los resultados matem�ticos por ejemplo, al tratar de predecir los precios en la bolsa de valores, o los terremotos.

Con frecuencia, sucede que una sesi�n de razonamiento matem�tico no produce conclusiones satisfactorias; entonces se intenta efectuar cambios en la manera en que se hizo la representaci�n o en las mismas operaciones. De hecho, se dan saltos entre pasos hacia adelante y hacia atr�s y no hay reglas que determinen c�mo se debe proceder. El proceso avanza t�picamente a empujones, con muchas vueltas err�neas y callejones sin salida. Este proceso contin�a hasta que los resultados son suficientemente buenos.

Pero, �qu� grado de exactitud es el suficiente? La respuesta depende de la forma en que se vaya a utilizar el resultado, las consecuencias del error, y el posible costo de modelar y estimar una respuesta m�s precisa. Por ejemplo, un error de 1% al calcular la cantidad de az�car en una receta para pastel podr�a ser insignificante, pero un grado de error similar en el c�lculo de la trayectoria de una sonda espacial podr�a resultar desastroso. Sin embargo, la importancia de la pregunta "suficiente" ha llevado al desarrollo de procesos matem�ticos para estimar qu� tan lejos podr�an llegar los resultados y cu�nto c�lculo se requerir�a para obtener el grado de precisi�n deseado.

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