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9.  EL MUNDO MATEMÁTICO Investigación

 

La matemática es principalmente un proceso de pensamiento que implica la construcción y aplicación de una serie de ideas abstractas relacionadas lógicamente. Estas ideas, por lo general, surgen de la necesidad de resolver problemas en la ciencia, la tecnología y la vida cotidiana que van desde cómo modelar ciertos aspectos de un problema científico complejo hasta cómo hacer el balance de un talonario de cheques.

CIENCIA: CONOCIMIENTO PARA TODOS
El conocimiento matemático es interesante no sólo por su valor intrínseco sino porque contribuye a la comprensión de la naturaleza y de los inventos humanos. Los objetivos programáticos de este capítulo tienen que ver con las ideas matemáticas básicas, en especial con aquellas que tienen aplicaciones prácticas. Este trabajo adopta el punto de vista de que la cultura en los adultos se conforma, principalmente, de una mayor percepción y examen. Estos conocimientos sirven de base para resolver problemas, tomar decisiones, comprender el mundo y seguir aprendiendo. No es frecuente, en la educación matemática, separar el conocimiento de la acción, pero la diferencia tiene igual importancia en las matemáticas que en las demás ciencias. De acuerdo con el formato de los capítulos 1 a 11, en éste, los objetivos programáticos se expresan como "los alumnos deben saber que". Los objetivos relacionados "los alumnos deben ser capaces de" aparecen en el Capítulo 12.

Sin embargo, determinar cuál es el valor principal del conocimiento no significa dejar de lado el asunto de cómo se adquiere. Como en las demás ciencias, la comprensión de las matemáticas requiere casi siempre una gran experiencia en su empleo, para resolver problemas, comunicar ideas y relacionar ideas entre sí. El informe Curriculum and Evaluation Standards for School Mathemathics (Normas Curriculares y de Evaluación para las Matemáticas Escolares, que de aquí en adelante llamaremos Normas NCTM) es una magnífica fuente de ideas y sugerencias acerca de cómo la instrucción puede promover tanto el conocimiento como la práctica. Los componentes matemáticos de los objetivos programáticos definen el nivel de especificidad requerido por la estrategia de este libro, que consiste en diseñar bloques de estudio interconectados, con metas explícitas.


A. Los númerosContenido del CapítuloInvestigación  Véase también...

Los números están por dondequiera y aparecen con muchos "disfraces". La experiencia escolar con los números debe como decía Pascal impulsar el aprecio por su belleza y armonía, y contribuir también al desarrollo del sentido numérico. Aunque es difícil definirlo en detalle, el sentido numérico es lo que permite a la gente juzgar cuándo el razonamiento matemático tiene sentido, y si los resultados son razonables. Lo más importante es que proporciona confianza a las personas en el uso de las matemáticas para resolver problemas y comunicar ideas.

Silos alumnos han de adquirir esa confianza, los planes de estudios deben tratar de: 1. que los papeles que desempeñan los números en diversas actividades como deportes, historia, música, loterías, codificación, etc., se hagan explícitos y se discutan; 2. que se dedique tiempo a examinar algunas de las ideas matemáticas más fascinantes, por ejemplo, el cero, los números negativos, 7t y los números primos, y 3. que los números que se emplean para resolver problemas sean, en lo posible, los que provienen de mediciones reales, de preferencia de los propios alumnos, y cuando no, de bases de datos. Las actividades de investigación y diseño ofrecen amplias oportunidades para que los alumnos trabajen en problemas que les interesen y los alienten a hacer estimaciones, conteos, mediciones, gráficas y demás empleo de los números, en las formas que contribuyen al crecimiento del sentido numérico.

Del nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elemental Contenido del Capítulo

Los niños deben tener dos tipos de experiencia con los números. Lo primero es que sea algo divertido. Contar, y los juegos de contar en los que se pide a los alumnos que cuenten progresiva o regresivamente, que se salten, que hagan corresponder números con cosas, que adivinen cuántas cosas hay en un conjunto y después las cuenten para ver quién gana, etc., son bien recibidos por los alumnos y les ayuda a familiarizarse con los números. Estos juegos de conteo deben ampliarse para incluir la comparación, combinación y el cambio de números, y también que "quiten" y "pongan". Pero contar y estimar, y desde luego sumar y restar, no es el único empleo de los números que pueden captar los alumnos de los primeros grados. Por ejemplo, puede presentarse el empleo de números para identificar objetos, haciendo que los niños armen figuras de las cosas distintas, como placas de automóviles y números de cuarto, y así pueden descubrir en dónde se emplean los números para identificar cosas.

El otro tipo de experiencia con los números tiene que ver con las mediciones (que después de todo no es sino una forma de conteo). Los alumnos deben realizar actividades, en especial las científicas y de diseño, donde se requiera que pregunten cosas que sólo puedan contestarse con números asociados con cosas. De este modo, pueden comenzar a comprender que respuestas a preguntas como ¿de qué tamaño?, ¿a qué distancia?, ¿cuánto tiempo? pueden ser, respectivamente, "9 kilos", "a 9 cuadras" o "9 días", pero no tan sólo "9". Aunque debe impulsarse a los alumnos para que lleven a cabo comparaciones físicas relativas siempre que puedan para llegar a conclusiones como, digamos, que B es más alto que A, a C le cabe más que a D, etc., también deben comenzar a desarrollar la preferencia hacia las comparaciones numéricas, como B es 5 centímetros más alto que Q, a la caja C le caben 14 canicas más que a la D. Las gráficas, en esta etapa, deben tener principalmente la forma de pictogramas, con objeto de comparaciones relativas más que graficación de números.

Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:

Del tercero al quinto grados de enseñanza elemental Contenido del Capítulo

En esta etapa los alumnos están adquiriendo destreza en multiplicación y división, con papel y lápiz y con calculadoras. Algo de la práctica necesaria en esta destreza se puede llevar a cabo con números sin contexto. Pero si los alumnos han de aprender el significado de los números y a usarlos correctamente, gran parte de lo que hagan debe basarse en la resolución de problemas en los que importen las respuestas, y donde los números sean cantidades medidas. Para esta edad, y también para los mayores, una gran fuente de ejemplos con números es el Libro de récords mundiales Guinness, de donde los propios alumnos pueden enunciar problemas interesantes.

Ahora pueden tomar medidas más precisas y variadas que en los grados inferiores, y no es muy temprano para discutir algunas de las realidades de números basados en la medición, en especial que las mediciones son estimados que varían algo, y que la manera de escribir un número dice algo acerca de la precisión de dicha medición, o también que siempre es necesaria una unidad de medida. Esta realidad se puede describir en forma de ideas generales y ejemplos obvios, sin que sean necesarias reglas complicadas.

Como asunto práctico, el cero es importante en la medición y la graficación, por ser un ancla de las escalas; los alumnos deben tener oportunidad, ahora, de investigarlo como concepto matemático interesante. Puede ser parte de su introducción a la idea de un sistema numérico y del valor posicional.

Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:

Del sexto grado de enseñanza elemental al segundo grado de enseñanza media Contenido del Capítulo

Este puede ser el periodo más importante de todos para ayudar a que los alumnos desarrollen la comprensión de los números. Hasta ahora han manejado, principalmente, números enteros positivos. Ya pueden entrar en escena los números negativos y las fracciones, porque los necesitarán para llevar a cabo las actividades científicas y tecnológicas incluidas en sus planes de estudios. Esta introducción práctica al valor de las fracciones y los números negativos debe complementarse con oportunidades para que reflexionen en esas ideas matemáticas y en otras más, como la interrelación de las operaciones, los sistemas numéricos y las pautas de números abstractos. Excepto en los casos en los que se trate claramente de practicar las operaciones, los profesores deben insistir en que los alumnos mediten acerca de los números empleados para resolver problemas cuantitativos. Los alumnos deben preguntarse cosas como: ¿qué unidades deben asociarse con las mediciones y la respuesta calculada?, ¿cuántos dígitos bastan en la respuesta, independientemente de lo que muestre la calculadora? Son difíciles las reglas formales para obtener las cifras significativas, y la mayoría de la gente tiende a manejar más dígitos que los necesarios "para estar seguros", pero deben darse cuenta, cuando menos, que sean importantes y que hay modos de manejarlos. "¿Tiene sentido este número?"

Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:

Del tercer grado de enseñanza media al tercer grado de enseñanza media superiorContenido del Capítulo

Respecto de los números, los grados tercero de enseñanza media a tercero de media superior son, en su mayor parte, elaboración de lo aprendido del sexto grado de enseñanza elemental al segundo de enseñanza media. En esta etapa los alumnos se encuentran con números y cálculos principalmente para resolver problemas o para aprender matemáticas más avanzadas. Mediante casos repetidos donde se presenten dificultades numéricas, los alumnos pueden ahondar y refinar su comprensión de las relaciones numéricas, operaciones, relaciones, estimación, medición, gráficas, etc. Igualmente, deben adquirir más experiencia en el empleo de las calculadoras para distintas tareas computacionales.

Al terminar el tercer grado de enseñanza media superior los alumnos deben saber que:


B. Relaciones simbólicas Contenido del CapítuloInvestigación  Véase también...

El álgebra, asociada al prestigio académico, a su importancia como medio de progreso (en la escuela, no en la vida), y a su importancia en las ciencias, la ingeniería y muchos otros campos, sigue siendo un tema acerca del cual no está bien aclarado lo que necesita conocer el adulto promedio. La tendencia actual hacia un año de álgebra para todos los alumnos se justifica, con frecuencia, citando la fuerte correlación entre tomar clases de álgebra y el éxito vocacional; pero naturalmente las correlaciones no implican relación de causa y efecto. La pregunta que para elaborar este libro se hizo en Ciencia Conocimiento para todos fue lo que deben aprender todos los alumnos, y no cuánta álgebra deben tomar, tampoco se preguntó cuánta biología o cuánta química deben tomar.

Es claro que todos deben saber qué es el álgebra, porque es uno de los grandes inventos de todos los tiempos. El primer paso hacia este concepto es que los alumnos aprendan símbolos, incluyendo que el empleo de éstos está muy difundido, asume muchas formas y no es característica única del álgebra ni de las matemáticas. Sin embargo, el álgebra representa a números, conjuntos de números, cantidades y relaciones con letras y signos (de operaciones) de modo sistemático, lo cual es útil para describir relaciones entre variables. El segundo paso es que los alumnos aprendan lo que significa manipular enunciados simbólicos. Pueden usar símbolos algebraicos y hasta formar afirmaciones simbólicas sencillas, mucho antes de saber que están "haciendo álgebra". Después, a medida que se encuentran con ejemplos de cómo se usa el álgebra en diversos contextos como en las ciencias naturales y sociales, o en el diseño, desarrollarán el sentido de qué es.

Las preguntas prácticas difíciles tienen que ver con cuánto deben aprender los alumnos acerca de la naturaleza y los usos de las ecuaciones algebraicas, y el grado de destreza que se espera que tengan al manipular ecuaciones. Para la formación científica es más importante que desarrollen un sentido de qué son las ecuaciones y cómo corresponden a otras formas de expresar relaciones entre cosas, y no solamente ser capaces de deducirlas o usarlas. Los alumnos que toman uno o más años de álgebra aprenden, muchas veces, a manipular símbolos y resolver ecuaciones (al menos cuando presentan el examen), pero salen con ideas bastante vagas de lo que significa una solución o por qué se puede necesitar.

En consecuencia, los alumnos deben tener experiencias que los animen a emplear las ecuaciones simbólicas, así como las gráficas, tablas y palabras, para resumir datos y proponer modelos de las relaciones del mundo real. Sin embargo, debe cuidarse de no confundir al alumno; se deben seleccionar variables que sean interesantes y observables, o medibles, y subrayar las relaciones simples entre una variable y otra, que se describieron en Ciencia: Conocimiento para todos.

El álgebra se usa en las ciencias para elaborar modelos de la forma en que los cambios de una cantidad afectan los cambios en otras cantidades. La física, química e ingeniería, y cada vez más también la biología, dependen de la representación algebraica. En estos objetivos no pretendemos que los alumnos recuerden las fórmulas de aceleración o de los circuitos en paralelo, ni de la acción de masas. Tampoco esperamos que puedan llevar a cabo manipulaciones algebraicas o resolver ecuaciones simultáneas. Deseamos, si, que adquieran el concepto de proporcionalidad, la capacidad de leer una fórmula algebraica y desarrollar su capacidad para relacionar la forma de una gráfica con sus implicaciones con algún fenómeno o suceso concreto.

Las calculadoras han simplificado mucho la graficación de ecuaciones; sin embargo, antes de que los alumnos hagan uso de esta posibilidad, necesitan tener experiencia en tabular datos por sustitución numérica en ecuaciones sencillas, para poder, a continuación, graficarlos. Después pueden invertir el proceso tratando de determinar una curva, y con ella una fórmula que se ajuste a los puntos de la gráfica. Quizás el modo más práctico de aprender la transformación entre tablas de datos, gráficas y fórmulas es empleando programas de cómputo para hojas de cálculo y gráficas. Pueden emplear los datos que les interesen, deducir fórmulas matemáticas, usar las fórmulas disponibles (las "funciones" de las hojas de cálculo), realizar cálculos en serie e imprimir tablas y gráficas de líneas, barras y pastel.

Cuando en la ciencia se emplean ecuaciones algebraicas y sus gráficas, el objetivo es describir fenómenos, pero que no necesariamente cumplen este cometido. Una pregunta a la que se pueden dar respuestas cada vez más complejas es "¿por qué no se ajusta exactamente?" Las respuestas deben centrarse, primero, en los errores de observación; después en la elección de la fórmula equivocada para ajustarse a datos ideales. Las respuestas deben comprender influencias no controladas y márgenes inadecuados de aplicación; al último debe venir la respuesta: "simplemente porque el mundo parece no funcionar de modo tan sencillo como las matemáticas".

Del nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elementalContenido del Capítulo

Los primeros años se les debe pedir a los niños que busquen regularidad en eventos, formas, figuras y conjuntos de números. Deben buscar, especialmente, 1 casos en los que parezca que los cambios de una cosa estén relacionados con cambios en otras, sin embargo, sería un error presentar la dependencia entre dos variables con toda su complejidad algebraica. La idea intuitiva de función puede inculcarse tanto matemática (teclear números distintos con las mismas operaciones en la calculadora) como físicamente (ajustando los grifos, los controles de la TV o los termostatos, u observando los efectos que tiene el ejercicio sobre la actividad del corazón y la respiración).

Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:

  • Las pautas semejantes pueden estar en muchos lugares de la naturaleza y en las cosas que hace la gente.
  • En ocasiones, cuando se modifica una cosa suele haber cambios en alguna otra. En algunos casos, modificar algo del mismo modo tiene, con frecuencia, el mismo resultado.
Del tercero al quinto grados de enseñanza elementalContenido del Capítulo

Los símbolos son tan sólo elementos que representan otras cosas o conjuntos de otras cosas. Pueden ser objetos, marcas o hasta sonidos. Quizá no sea muy pronto para que los alumnos comiencen a identificar símbolos como banderas de los estados, la mascota de la escuela, "caras alegres," velas de pasteles de cumpleaños, etc., e inventar símbolos para representar cosas y combinarlos para denotar relaciones (especificadas por otros alumnos), como "esto es mayor (o más veloz o más caro) que aquello". En esta actividad se debe ayudar a los alumnos a darse cuenta de que el concepto de símbolo no pertenece sólo a las matemáticas y que no sólo se usan letras como símbolos. Deben reunir y comparar los usos de distintos tipos de símbolos que puedan encontrar en matemáticas o en cualquier otra materia, como jeroglíficos, números, iconos, notas musicales, etcétera.

Al principio, se puede apreciar la dependencia de una cantidad de otra simplemente como "el cambio de x provoca un cambio de y". No necesita más que darse cuenta del cambio de Y y decir si se hace mayor o menor. En este nivel es posible observar si un cambio notable de y necesita de un gran cambio de x o tan sólo de un cambio pequeño. Probablemente sea prematuro presentar la dependencia entre dos variables con símbolos formales. Sin embargo, se puede anticipar algo; en este nivel el cuadrado para la incógnita de una ecuación, por ejemplo 3+ {}=5, representa casi siempre un solo valor que hará que la ecuación sea un m afirmación verdadera, Dos cuadrados para (los incógnitas o entrada y salida de una "maquina función". ", permiten distinguir qué conjuntos de parejas ordenadas satisfacen la ecuación. Es posible que los alumnos lleguen a pensar que' y implica determinada X, y que' X se necesita para producir una y deseada. En cualquier caso se deben emplear tablas y gráficas, mas que ecuaciones, para investigar las relaciones entre dos variables

Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:

  • Los enunciados matemáticos representados mediante símbolos pueden ser verdaderos sólo cuando los símbolos se reemplazan por ciertos números.
  • Las tablas y las gráficas pueden mostrar cómo se relacionan los valores de una cantidad con los de otra.
Del sexto grado de enseñanza elemental al segundo grado de enseñanza media Contenido del Capítulo

Durante estos años, los alumnos pueden comenzar a entender lo que significa investigar las relaciones entre distintas cantidades, representándolas por medio de símbolos y manipulando los enunciados que relacionan estos símbolos, aunque en sí mismos todavía no estén listos para manejar las ecuaciones algebraicamente. Esto sucederá si se les muestran ecuaciones sencillas que representan algunas de las relaciones que puedan deducir de tablas y gráficas que hayan hecho, y si pueden aprender a resolver las ecuaciones mediante sustitución numérica o "tanteo". Se sugiere el empleo de la sustitución debido al siguiente razonamiento de un alumno al ser confrontado con un problema en el que se requiere saber algo de álgebra:

    Necesito saber cuánto tardará un objeto en caer 3 metros. La ecuación que relaciona la altura recorrida con el tiempo es s =1/2at2. ¿Por qué se usa s y no d para representar la distancia? Bien, no importa, siempre que se sepa lo que significa. Conozco s y a, pero deseo calcular el valor correcto de t. Probablemente haya un modo de replantear esta ecuación para obtener t, pero no estoy seguro de mi destreza para poderlo hacer bien. Así que veamos si puedo calcular qué valor de t daría como resultado 3 metros para s. ¿1 segundo?, no, el resultado sería más de 4.5 metros. ¿1/2 segundo'?, tampoco, t se eleva al cuadrado y el resultado es 1.20 metros. Probaremos algo intermedio: ¿2 1/4 de segundo? qué bien, casi son 3 metros. Es suficiente para mi objetivo: una caída de 3 metros dura un poco más que 2/4 de segundo. (O bien, si se necesitara más exactitud, "3/4 equivale a 0.75, así que probemos con 0.80...")

Al elaborar un esquema que represente la experiencia del alumno con las tendencias y la regularidad, se debe subrayar la investigación de las funciones; es la noción básica de que los cambios de una variable dan como resultado cambios en otra. Sin embargo, como dictan las Normas NCTM, en este nivel "el trabajo con tendencias debe subrayar casos concretos, ser informal y relativamente libre de simbolismo". Es más importante investigar la noción de función, incluyendo los valores máximos y mínimos, el comportamiento en valores especiales de interés, como cero, o las tendencias hacia valores limite, etc., que la representación simbólica formal. El concepto de variable, tan sutil en matemáticas, es de difícil comprensión. Hasta los veteranos en álgebra pueden imaginarse a las variables sólo mediante determinados valores numéricos. Se pueden usar letras como variables para representar unidades sencillas (P representa un profesor, no cierta cantidad de profesores. No se deben introducir las variables a través de definiciones abstractas, sino por medio de casos del mundo real, situaciones cotidianas en las que los alumnos puedan comprender y quizás hasta interesarse en la s múltiples posibilidades de su valor.

Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:

  • Una ecuación con una variable puede ser verdadera tan sólo para un valor de la variable.
  • Se pueden emplear fórmulas matemáticas para describir cómo cambia una cantidad cuando varía otra. También es posible calcular tasas de variación o rapideces de cambio a partir de diferencias de las magnitudes, y viceversa.
  • Las gráficas pueden mostrar una gran variedad de relaciones posibles entre dos variables. Cuando una variable aumenta de manera uniforme, la otra puede: aumentar o disminuir uniformemente; aumentar o disminuir cada vez más rápido; acercarse cada vez más a cierto valor limite; llegar a un valor máximo o mínimo intermedio; aumentar y disminuir alternativa e indefinidamente; aumentar o disminuir en. forma de saltos, o bien algo distinto de todo lo anterior.
Del tercer grado de enseñanza media al tercer grado de enseñanza media superior Contenido del Capítulo

Los alumnos deben practicar con representaciones tabulares, gráficas y simbólicas y pasar de una a otra, y les debe pedir que describan sus tablas, gráficas y ecuaciones en lenguaje claro. Con ayuda de calculadoras y computadoras deben explorar los efectos al cambiar los términos de una ecuación sobre el comportamiento general de su gráfica. La tecnología de cómputo permite que las escuelas proporcionen un conjunto muy rico de experiencias sobre álgebra como nunca antes. Los alumnos deben pasar menos tiempo graficando las curvas punto por punto, y más tiempo en interpretarlas, investigar sus propiedades y determinar la forma en que éstas se relacionan con las formas de las ecuaciones correspondientes. No está por demás que los alumnos sigan graficando algunos puntos, para comprobar que sus gráficas sean razonables.

Para modelar fenómenos, los alumnos deben encontrarse con una variedad de tipos comunes de relaciones, representadas en gráficas, como proporciones directas, inversas, curvas de aceleración y desaceleración (o de saturación), y máximos y mínimos, y de ahí desarrollar el hábito de emplear esas posibilidades al considerar la forma en que se relacionan dos cantidades. Sin embargo, ninguno de estos términos es necesario al principio. Es perfectamente correcto decir: "Es máxima aquí y menor a cada lado", o "continúa creciendo, pero no tan rápido como antes", en especial cuando se pueden describir los fenómenos que se comportan de ese modo.

Durante la enseñanza media los alumnos deben encontrarse con el concepto de que una cantidad se puede relacionar, no con el valor de otra cantidad sino con su rapidez de cambio, como la fuerza con el cambio de velocidad, o el "campo" eléctrico inducido con la rapidez de cambio del campo magnético. Hay también muchos ejemplos en donde la rapidez de cambio de una cantidad es proporcional a esa misma cantidad (por ejemplo, el decaimiento radiactivo, el interés compuesto o el crecimiento ilimitado de la población). Antes, cuando no se disponía de calculadoras, esa rapidez tan cambiante se hubiera manejado, para fines de conocimiento, como un caso de multiplicación sucesiva.

Al terminar el tercer grado de enseñanza media superior los alumnos deben saber que:

  • Los enunciados simbólicos se pueden manipular con reglas de lógica matemática para obtener otros enunciados de la misma relación; estos últimos pueden mostrar con más claridad algún aspecto importante. Los enunciados simbólicos se pueden combinar a fin de buscar valores de variables que satisfagan a todos al mismo tiempo.
  • Todo modelo matemático, gráfico o algebraico, tiene límites de validez para representar corno funciona el mundo. La utilidad (le un modelo matemático para predecir cosas puede estar limitada por las incertidumbres en las me dicciones por no tener en cuenta algunas influencias importantes o por requerir demasiados cálculos. Las tablas gráficas y símbolos sean métodos alternativos de representar datos y relaciones que se pueden traducir de una forma o otra.
  • Cuando se representa una relación mediante símbolos se pueden sustituir todos los símbolos con números, menos uno, y calcular el valor posible de ese símbolo. A veces, la relación puede ser satisfecha por un valor, a veces por más de uno y en otras no habrá valores que la satisfagan. Se puede estimar lo razonable del resultado de un cálculo a partir de cuáles son los datos y las operaciones.

C. Las formasContenido del CapítuloInvestigación  Véase también...

Mucho antes de poder emplear el lenguaje de la geometría, los niños deben percatarse de las formas. Antes de iniciar su educación formal ya han tenido muchas experiencias con puntos, líneas, planos y espacios, y es en la escuela donde necesitan ampliar esos conocimientos, desarrollando el sentido espacial y aprendiendo a ver el mundo a través de los ojos de la geometría, para construir, dibujar, medir, visualizar, comparar, describir y transformar cosas. La progresión de experiencias debe llevar a los alumnos desde el reconocimiento de formas como totalidad hasta distinguir propiedades explícitas de las formas, y posteriormente, al análisis de las relaciones entre las formas.

Del nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elementalContenido del Capítulo

Las actividades de los niños en estos grados se limitan a coleccionar y construir cosas, por lo que tendrán muchas oportunidades para pensar en la forma. Deben hacer dibujos de lo que coleccionan y observan fuera de la clase, para después analizarlos desde muchas perspectivas, como color, tamaño y, naturalmente, forma. Primero, los alumnos tienden a describir la forma de una cosa comparándola con otra: una canica tiene la misma forma que una pelota; una hoja de papel es como una alfombra; una cuerda de brincar como un cordón de zapatos, etc. A medida que organizan diversas cosas que tienen más o menos la misma forma comenzarán a necesitar nombres de las propiedades comunes.

El arte tiene mucha importancia para desarrollar el sentido espacial. Los alumnos deben formar imágenes bidimensionales reconocibles (caras, personas, casas, camas, etc.), empleando sólo rectángulos, triángulos y circunferencias, para después invertir el proceso: identificar las mismas formas en las representaciones de las cosas. También se puede comenzar estableciendo la base de la introducción, después de la idea de la simetría, haciendo que practiquen el trazo de figuras de determinado objeto, geométricamente simple, en el que su posición se haga girar o el observador cambie de posición. Y, en todo lo anterior deben tener tareas descriptivas que requieran el empleo de palabras como arriba, abajo, atrás, dentro, fuera y "de cabeza".

Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:

  • Las formas como circunferencias, cuadrados y triángulos se pueden emplear para describir muchas cosas visibles.
Del tercero al quinto grados de enseñanza elementalContenido del Capítulo

La descripción geométrica de los objetos comprende el tamaño, la orientación, la simetría y las proporciones, al igual que la forma. Los alumnos deben comenzar a emplear todas estas propiedades para describir y diseñar cosas, para aumentar su acervo de formas y conceptos geométricos con los que están familiarizados. Los conceptos de área y volumen se deben desarrollar primero en forma concreta y pasar a los procedimientos de cálculo sólo cuando se hayan comprendido bien los conceptos y algunos de sus usos prácticos. Graficando, se pueden ayudar a captar algunas de las relaciones entre cantidad, forma y posición.

Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:

  • Se pueden imaginar que la longitud es una serie de longitudes unitarias una tras otra, que el área es un conjunto de cuadrados unitarios y que el volumen es un conjunto de cubos unitarios.
  • Si se ubican el 0 y el l en una recta, se puede representar cualquier otro número en forma de posición en la recta.
  • La representación gráfica de los números puede permitir identificar patrones que no son obvios, como tamaño comparativo y tendencias.
  • Se pueden describir muchos objetos en términos de figuras planas y cuernos simples. Se pueden comparar las formas con conceptos como paralelo y perpendicular, congruencia y semejanza y simetría. La simetría puede obtenerse mediante reflexión, rotación o traslación.
  • Se pueden calcular áreas de formas irregulares, dividiéndolas en cuadrados y triángulos.
  • Los dibujos a escala muestran las figuras y permiten comparar las cosas de tamaño diferente.
Del sexto grado de enseñanza elemental al segundo grado de enseñanza media Contenido del Capítulo

La capacidad lógica cada vez mayor de los alumnos de estos niveles permite hacer inferencias y deducciones lógicas a partir de problemas geométricos. Deben investigar y emplear ideas geométricas, más que memorizar definiciones y fórmulas. La semejanza y la congruencia las pueden investigar mediante transformaciones. Las figuras deben estar orientadas de diversas formas para ayudar a formar generalizaciones que no tengan orientaciones preferidas. Esto es especialmente cómodo mediante programas de cómputo que lleven a cabo "giros" y "estiramientos". También, con las fotografías, proyectores de cuernos opacos y fotocopiadoras se pueden disminuir y aumentar las formas.

Al investigar cómo cambian con el tamaño las mediciones lineales, las áreas y los volúmenes, fortalecerán sus conceptos y se ayudarán, en general, en su avance hacia el concepto de escala que se describe en el Capítulo 11. En esta etapa, la mayor parte de los alumnos espera que el área y el volumen cambien en proporción directa a su tamaño lineal.

El aprendizaje de determinar lugares en la realidad y en los mapas, empleando coordenadas rectangulares y polares, puede contribuir a entender la escala c ilustrar una de las relaciones importantes entre los números y la geometría. Asimismo, la forma se relaciona mucho con las mediciones espaciales. Los alumnos deben tener gran experiencia en medir y calcular perímetros, áreas, volúmenes y ángulos, escogiendo las unidades y las herramientas de medida adecuadas. Hasta donde sea posible, esas actividades se deben practicar por medio del diseño y la construcción de diversas cosas.

Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:

  • Algunas formas tienen propiedades especiales. Los triángulos tienden a formar estructuras rígidas y las formas redondas dan el mínimo perímetro para determinada cantidad de área interior. Las formas pueden coincidir exactamente, o ser las mismas pero con distintos tamaños.
  • Las líneas rectas pueden ser aralelas, perpendiculares u oblicuas.
  • Las formas sobre una esfera como la Tierra no se pueden representar en una superficie plana sin tener cierta distorsión.
  • La representación gráfica de los números puede facilitar mostrar pautas como tendencias, tasas (rapideces) de cambio, variables, huecos o acumulaciones. En ocasiones esas pautas se pueden emplear para predecir los fenómenos que se grafican.
  • Se necesitan dos números para ubicar un punto en un mapa o en cualquier otra superficie plana que pueden ser dos distancias perpendiculares a otro punto, o un ángulo y una distancia a otro punto.
  • En una gráfica o en un dibujo la escala elegida determina mucho su utilidad.
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Se deben encontrar demostraciones deductivas en las discusiones de prueba en un contexto mayor que la geometría. ¿Cómo sabe la gente que es cierto algo que se ha "demostrado?", ¿Es igual en astronomía que en biología, en química que en leyes, en geometría que en álgebra? La naturaleza de la lógica y la evidencia son temas que deben surgir con frecuencia en la ciencia, la historia, los estudios sociales y las matemáticas. Aunque no es posible enseñar a todos a deducir demostraciones euclidianas, deben aprender algo de lo que encierran éstas y la razón de su importancia en matemáticas.

Las computadoras tienen gran utilidad en esta etapa; los alumnos las deben emplear para investigar formas complicadas en tres dimensiones: 1. analizar la geometría de los objetos de su interés; 2. resolver problemas de escala y 3. graficar los datos de sus actividades científicas. No obstante, las computadoras nunca podrán sustituir a la experiencia directa. Por ejemplo, los alumnos deben tener oportunidades para resolver problemas que requieran triangulación, como la experiencia clásica de calcular la distancia a través de un río o a la Luna, que se puede hacer con dibujos a escala. También deben hacer algo de mecanización de dibujo al estilo tradicional antes de usar las posibilidades gráficas de la computadora.

Al terminar el tercer grado de enseñanza media superior los alumnos deben saber que:

  • Las distancias y los ángulos que no se pueden medir directamente se pueden calcular partiendo de distancias y ángulos medibles, con dibujos a escala o mediante fórmulas.
  • Hay fórmulas para calcular las áreas y los volúmenes de formas regulares. Cuando cambia el tamaño lineal de una forma en cierto factor su área y volumen cambian desproporcionadamente: el área en proporción al cuadrado del factor y el volumen en proporción a su cubo. Las propiedades de un objeto que dependan de su área o de su volumen también cambian desproporcionadamente.
  • Las formas y relaciones geométricas se pueden describir en términos de símbolos y números y viceversa; por ejemplo, se puede especificar la posición de cualquier punto en una superficie mediante dos números; una gráfica representa todos los valores que verifican a una ecuación y si deben satisfacer dos ecuaciones a la vez los valores están determinados por la intersección de sus gráficas.
  • Los diversos modos de representar una superficie curva como la de la Tierra, sobre una superficie plana, tienen ventajas distintas.

D. La incertidumbreContenido del CapítuloInvestigación  Véase también...

En el Capítulo 9 de Ciencia: Conocimiento para todos, las secciones sobre la incertidumbre, el resumen de datos y el muestreo, son importantes en el aprendizaje del manejo de la evidencia. Se debe hacer una diferencia esencial en esta meta, al igual que en otras, de lo que se espera comprendan los alumnos, o sea que noten, comenten y critiquen, y de lo que se pretende que hagan por sí mismos. como planear y realizar. Básicamente, se intenta convertirlos en consumidores importantes de datos, no en productores. Por ejemplo, deben saber que la gente puede estar condicionada contra posibles prejuicios al elegir muestras seleccionadas por otros, pero pueden ser incapaces de tomar las precauciones adecuadas contra el prejuicio (en estadística se llama sesgo) al diseñar un estudio por sí mismos.

En esta meta se esconden algunas nociones difíciles, aun para algunos adultos. Un malentendido común es creer que los promedios siempre son representativos de una población. Se pone poca o ninguna atención a la amplitud (los límites) de la variación en torno a los promedios. Este punto tiene mucha importancia cuando se comparan grupos, por ejemplo, al enunciar una diferencia minúscula (pero creíble) en el promedio x para hombres y mujeres en frases como los hombres tienen x alto, mientras que las mujeres tienen x bajo". Por ello, es esencial que cuando se hable de promedios siempre se agregue alguna indicación de la distribución real de los datos. No vale la pena hablar de promedios hasta que no surja una pregunta en la que la respuesta adecuada sea mediante un promedio. Algunos estudios de investigación sugieren que el aprendizaje de un algoritmo separado de un contexto con significado, tiende a bloquear a los alumnos y difícilmente les permite entender, para qué son los promedios.

Otro malentendido es la hipótesis de que las variables se relacionan siempre con causas y efectos. Cuando se les dice a los adultos que hay una correlación entre dos variables, casi siempre piensan en una causa, o a creer en la causa que se les mencione. Una correlación entre A y B siempre debe inducir a considerar cuatro hipótesis: 1. A puede causar B; 2. B puede causar A; 3. A y B mutuamente pueden no causarse, pero ambos pueden tener a C como causa común, y 4. tan sólo la suerte puede haber· producido la dependencia aparente. Quizá no haya mayor contribución de las matemáticas a la ilustración científica que el estímulo de la comprensión de qué es una correlación y qué no lo es.

Una de las malas interpretaciones que deben manejar los profesores acerca de la probabilidad, es que la historia reciente cambia una probabilidad bien establecida. Las personas tienden a creer, por ejemplo, que una moneda que ha caído cara diez veces seguidas tendrá más probabilidad en el siguiente volado de caer cruz y no cara, y que el número de la lotería que salió la semana pasada tiene menor probabilidad de salir esta vez. Esta y otras confusiones acerca de la probabilidad son puramente matemáticas y se pueden utilizar como tales, pero también es importante manejar algunas preguntas relacionadas con la forma en la que se establecen las probabilidades. Los ejemplos deben provenir de la medicina, las catástrofes naturales como inundaciones y sismos, los patrones del clima, los eventos deportivos y de la bolsa de valores, las elecciones y otros contextos muy concretos.

Del nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elementalContenido del Capítulo

En los primeros grados los estudiantes pueden comenzar el aprendizaje de tal manera que adquieran una idea positiva sobre las estadísticas cotidianas. A este nivel, los niños pueden agrupar las cosas que reúnen de acuerdo con su tamaño y su peso, para después preguntar algo acerca de éstas, como por ejemplo cuál está enmedio, cuántas son iguales, etc. De aquí en adelante pueden trazar pictogramas sencillos que muestren cómo se distribuye una variable conocida y de nuevo preguntar acerca de la distribución. Pueden comenzar a conocer el muestreo en el contexto, digamos, de informar los tipos de piedras que encontraron en el patio de juegos.

Los niños mantienen seguimiento de muchos y muy diversos fenómenos, algunos se darán cuenta que éstos tienen cierta influencia sobre otros. Al trabajar en grupos pequeños, de vez en cuando se les debe pedir repasar su material para ver sí pueden tratar de predecir algunos eventos en el futuro. La parte más importante de tales ejercicios es que los alumnos exponen las razones de sus predicciones y no que puedan hacer predicciones; naturalmente, deben proseguir para confirmarlas o desecharías.

Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:

  • Es más probable que sucedan algunas cosas que otras, es decir, se pueden predecir bien algunos eventos y otros no. En ocasiones, las personas no están seguras de lo que sucederá porque no conocen todo lo que puede tener un efecto.
  • Muchas veces, una persona puede comprender un conjunto de conceptos estudiando tan sólo algunos de ellos.
Del tercero al quinto grados de enseñanza elementalContenido del Capítulo

Las preguntas que sólo se exploraron en los primeros grados pueden ser ahora preguntas formales. Se deben estructurar distribuciones de datos de muchas características y cantidades comunes como alturas, pesos, cantidad de parientes o razas de perros. Lo importante que se tiene que subrayar en este nivel es el tipo de preguntas que se pueden hacer y contestar mediante una distribución de datos: "¿Dónde está el punto medio?" es una buena pregunta; probablemente "¿cuál es el promedio?" no lo sea. Como hay una idea errónea, que se presenta hasta en los adultos, de que las medías son representaciones de los grupos en total, es muy importante dirigir la atención de los alumnos a las preguntas adicionales: "¿Cuáles son los valores máximo y mínimo?" y "cuánto se dispersan los datos a ambos lados de la mitad?" También se les debe invitar a que en sus estudios, sugieran algunos casos, que puedan prejuiciar los resultados, por ejemplo, hacer mediciones sólo de la altura de los componentes del equipo de básquetbol o reunir únicamente los insectos fáciles de capturar.

Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:

  • Algunas predicciones se pueden basar en lo que se conoce del pasado, suponiendo que hoy las condiciones son casi iguales.
  • Las predicciones estadísticas, por ejemplo sobre los días lluviosos o los accidentes, son mejores respecto a cuántos de un grupo experimentarán algo, que en relación a cuáles miembros del grupo lo experimentarán, y son mejores respecto a la frecuencia con la que sucederá algo que exactamente cuándo.
  • Por lo general, las predicciones resumidas son más exactas para conjuntos mayores de eventos que tan sólo para unos cuantos. Hay eventos muy improbables que sucederán con frecuencia cuando las poblaciones sean muy grandes.
  • Repartir los datos en una recta numérica ayuda a visualizar cuáles son los extremos, dónde se concentran los datos y dónde hay huecos. Un resumen de los datos comprende dónde está la media y cuánta dispersión hay a su alrededor.
  • Una pequeña parte de algo puede ser especial en cierto sentido y no proporcionar una perspectiva adecuada del todo. La cantidad de algo que puede ayudar a estimar lo que puede ser el todo depende de cómo se elige esa cantidad. Hay peligro de elegir sólo los datos que muestran lo que la persona espera antes de la elección.

Del sexto grado de enseñanza elemental al segundo grado de enseñanza media Contenido del Capítulo

Con base en la experiencia previa, los alumnos pueden entrar con mayor detalle en la estadística. El trabajo se debe relacionar directamente con investigaciones por parte del alumno y éste debe emplear computadoras. Como se dice en las Normas NCTM:

    En la estadística, la instrucción se debe enfocar hacia la participación activa de los alumnos en todo el proceso: formular preguntas clave, reunir y organizar datos, representar los datos mediante gráficas, tablas, distribuciones de frecuencia y dócimas (medidas) estadísticas de resumen; analizar los datos, hacer conjeturas y comunicar la información de un modo convincente. La comprensión de la estadística por parte de los alumnos también se ampliará al evaluar los argumentos de otros.

    Los programas de cómputo con bases de datos son un medio para que los alumnos estructuren, registren e investiguen la información, la clasifiquen con rapidez en diversas categorías y la organicen en diversas formas. Se pueden emplear otros programas de cómputo para formar gráficas que representen los datos, así como hacer cambios de escala para comparar los puntos de vista distintos sobre la misma información. Estas herramientas tecnológicas liberan a los alumnos de modo que tienen más tiempo para investigar la esencia de la estadística, analizar los datos desde muchos puntos de vista, hacer inferencias y elaborar y evaluar argumentos.

Los alumnos deben formar distribuciones de muchos conjuntos de datos, los suyos propios o publicados, que ya hayan motivado algunas preguntas significativas. En un conjunto de datos la idea de un promedio se debe estructurar bien, digamos, pidiendo un método sencillo para comparar dos grupos; se deben tener en cuenta las distintas clases de promedios. Se podrá aprender el algoritmo para calcular la medía pero no sin preguntar, repetidamente, qué es y qué no es lo que significa.

Al estudiar los conjuntos de datos se deben hacer preguntas como las siguientes: ¿Qué aparece con más frecuencia en los datos?, ¿hay tendencias?, ¿por qué hay puntos alejados?, ¿cómo poder explicar los datos y permitir que nuestra explicación prediga cómo serán los siguientes?, ¿qué dificultades pueden surgir al ampliar la explicación a problemas similares?, y ¿qué datos adicionales se pueden reunir para tratar de comprobar las ideas que se hayan desarrollado?

En lo anterior se debe tener en mente la diferencia entre medios y extremos; el fin último no es convertir a los alumnos en personas competentes en la elaboración de estadísticas sino hacer que comprendan lo suficiente sobre éstas para poder responder con inteligencia a las afirmaciones basadas en medidas estadísticas, sin el esfuerzo necesario intenso en el caso que la comprensión sea elusiva.

También la probabilidad debe continuar en este nivel con el empleo de tablas de frecuencias reales de eventos, que comiencen en el tercer grado y continúen hasta el quinto. Sin embargo, cada vez se debe pedir a los alumnos que consideren silos datos, que necesariamente se recopilaron en el pasado, siguen siendo aplicables. Por ejemplo, ¿qué tan bien se aplican las temperaturas del año pasado al actual?

Después de haber tenido muchas ocasiones para contar resultados posibles (como los lanzamientos de un dado) y de discutir su probabilidad igual (¿es igualmente probable que salga una cara que cualquiera otra?), los alumnos deben comenzar a tratar generalizaciones acerca de las probabilidades teóricas. Su atención debe dirigirse hacía las hipótesis de que todos los resultados posibles de una situación ya se tomaron en cuenta y son igualmente probables. Se deben usar computadoras para generar datos probables simulados para su análisis, pero sólo después de que los alumnos hayan resuelto problemas en los que usen sus propios datos.

Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:

  • El modo de estimar la probabilidad depende de lo que se conoce acerca de la situación. Las estimaciones se pueden basar en datos procedentes de condiciones semejantes en el pasado, o en la hipótesis de que se conocen todas las posibilidades.
  • Las probabilidades son relaciones y se pueden expresar en forma de fracciones, porcentajes o posibilidades (por ejemplo, de una en mil).
  • La media, mediana y moda indican aspectos diferentes acerca del promedio de un conjunto de datos.
  • La comparación de datos procedentes de dos grupos debe comprender la comparación de sus medias y las dispersiones respecto a éstas.
  • Mientras más grande es una muestra bien seleccionada es más probable que represente con más exactitud al todo. No obstante, hay muchos modos de elegir una muestra que puede ser no representativa del todo.
  • Los eventos se pueden describir en términos de ser más o menos probables, imposibles o seguros (ciertos).
Del tercer grado de enseñanza media al tercer grado de enseñanza media superior Contenido del Capítulo

Al crecer la complejidad matemática durante estos grados los alumnos son capaces de llevar a cabo y encontrar el sentido de más sutilezas en la recopilación, descripción e interpretación de los datos. Deben tener múltiples oportunidades para planear y llevar a cabo estudios sobre sus propias observaciones y de grandes bases de datos. En sus informes escritos deben aparecer los razonamientos que los llevaron a sus decisiones sobre el método de muestreo y tamaño de la muestra, acerca de los modelos elegidos, de la presentación empleada y de las interpretaciones alternativas. Deben buscar prejuicios de selección, errores de medición y distorsión en la presentación de las noticias y de sus propios estudios.

También es importante la frecuente discusión de los informes periodísticos sobre los estudios científicos, en los que los alumnos deben identificar los puntos débiles y dar interpretaciones alternativas de los resultados, escribiendo sus propias versiones.

Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:

  • El modo de estimar la probabilidad depende de lo que se conoce acerca de la situación. Las estimaciones se pueden basar en datos procedentes de condiciones semejantes en el pasado, o en la hipótesis de que se conocen todas las posibilidades.
  • Las probabilidades son relaciones y se pueden expresar en forma de fracciones, porcentajes o posibilidades (por ejemplo, de una en mil).
  • La media, mediana y moda indican aspectos diferentes acerca del promedio de un conjunto de datos.
  • La comparación de datos procedentes de dos grupos debe comprender la comparación de sus medias y las dispersiones respecto a éstas.
  • Mientras más grande sea una muestra bien tomada de una población se estimarán mejor sus dócimas estadísticas. Cuando la muestra está bien tomada su tamaño es mucho más importante que el de la población. Para evitar prejuicios (sesgos) intencionales o involuntarios, se acostumbra tomar muestras mediante algún sistema aleatorio.
  • Se puede emplear un modelo físico o matemático para estimar la probabilidad de eventos en el mundo real.

E. El razonamientoContenido del Capítulo  Véase también...

En este capítulo la aparición del razonamiento no implica, en modo alguno, que se deba enseñar sólo en las clases de matemáticas. En realidad, se debe estudiar el razonamiento en todos los cursos de ciencias, de ciencias sociales y en todos en los que se enseñe la manera crítica de pensar. Parte de lo que debe lograrse es que los alumnos adquieran el tipo de comprensión de la lógica deductiva que se necesita para diferenciar la buena de la mala deducción, entre las divergencias de las personas. Deben percatarse también por qué es tan importante el razonamiento en las matemáticas. Otra parte de la agenda del razonamiento debe tratar la lógica inductiva, es decir, llegar a generalizaciones a partir de casos y sus usos en la ciencia y la vida cotidiana. Es importante además que perciban bien las limitaciones de esa lógica debido a la tendencia tan difundida que tienen de presentar un ejemplo como demostración. No obstante la importancia de que los alumnos lleguen a comprender la naturaleza de la lógica, es esencial que aprendan cómo usar la lógica y la evidencia para formar argumentos válidos y persuasivos a fin de juzgar los argumentos de otros. Esto será posible silos alumnos practican mucho la formulación de argumentos, su presentación ante sus compañeros, la respuesta a sus críticas, y la crítica de razonamientos ajenos. Además, esta experiencia se debe formar durante muchos años, ya que cada vez es más compleja a medida que aprenden a organizar la evidencia, y debe tener un lugar en el contexto de problemas y asuntos interesantes que surjan en las ciencias sociales y en las clases de ciencias y matemáticas.

Del nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elementalContenido del Capítulo

En el nivel de iniciación, la meta es que los alumnos desarrollen expectativas acerca del razonamiento más que adquirir destreza en éste. Debe ser rutinaria la pregunta "¿cómo lo sabes?", porque los niños deben habituarse a ella y sentirse seguros al contestarla. Aquí no es importante todavía la calidad de la respuesta, aunque a veces debe discutirse lo que es más creíble en las respuestas de otros. Las actividades científicas dan oportunidades diarias para adquirir práctica en identificar la evidencia.

Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:

  • Es más probable que las personas te crean si les das buenas razones.

Del tercero al quinto grados de enseñanza elementalContenido del Capítulo

La calidad de la respuesta comienza a ser más importante a "¿cómo lo sabes?". Cuando se le pide al niño una razón de su afirmación es probable que tan sólo repita la afirmación con más énfasis ("es porque ), o recurra a una autoridad ("así dice mi hermano mayor"). En este caso, no se aconseja menospreciar a "sus autoridades", pero sí se puede cuestionar sutilmente esa autoridad ("¿cuáles supones que sean sus razones?". El respaldo de afirmaciones con razones lo debe modelar el profesor. En las clases de ciencias pueden surgir preguntas en las que se piense en un argumento con evidencia inadecuada. Los profesores entonces pueden guiar al acierto con preguntas como: "¿crees que seria mejor reunir más muestras?", "si repitieras la investigación, ¿crees que sucedería lo mismo?", "¿qué prueba podría cambiar tu idea?". En este nivel los alumnos todavía razonan en forma concreta, pero quizás ya se les pueda presentar el razonamiento por analogía; al principio, las analogías deben ser simples y obvias; la atención se debe enfocar hacia cómo se asemeja y diferencia lo que se estudia. Reflexionar sobre las analogías no debe provocar que los alumnos analicen tanto que se aparten de su sentido poético. Las analogías se deben emplear libremente en la especulación y en la expresión artística, pero cuando se emplean como base de un argumento se deben poner a prueba. ("Mi amor es como una roja, roja rosa; por tanto

Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:

  • Una manera de encontrarle sentido a alguna cosa es pensar en qué se asemeja a algo más familiar.
  • El razonamiento puede ser distorsionado por sentimientos fuertes.
Del sexto grado de enseñanza elemental al segundo grado de enseñanza mediaContenido del Capítulo

Muchos alumnos pueden pensar en forma más abstracta en los grados intermedios que en los primeros. Por consiguiente, ya pueden considerar con más detalle los principios del razonamiento y comenzar a apreciar la parte medular de la lógica en el razonamiento claro, ya que hasta ahora la calidad de evidencia había sido lo más importante para respaldar una afirmación. Este avance permitirá insistir sobre el uso cuidadoso de determinadas palabras como si... entonces... y, o, no, todo y algo.

Las ciencias y las matemáticas son los caminos más adecuados para aplicar la lógica, pero no son los únicos; el diseño de proyectos y la localización de fallas en objetos y sistemas mecánicos conducen también. a excelentes oportunidades de aplicación y tienen la virtud de retroalimentar en forma concreta. En las ciencias sociales, los alumnos deben examinar su empleo para recuperar información en las bases de datos, así como en controversias políticas y sociales.

Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:

  • Sólo algunos aspectos del razonamiento tienen reglas bastante rígidas de lo que tiene sentido. Silos alumnos tienen reglas que siempre son válidas e información cierta de determinada situación, entonces la lógica les puede ayudar a definir lo que haya de validez en ella. Este tipo de razonamiento requiere tener cuidado en el empleo de palabras clave como sí, y, no, o, todo y algo. El razonamiento mediante semejanzas puede sugerir ideas, pero no las puede demostrar de ningún modo.
  • El razonamiento práctico, como los diagnósticos o la localización de fallas de casi cualquier cosa, puede necesitar de la lógica en muchos sentidos. Las computadoras pueden ayudar en la solución de ciertos problemas, ya que almacenan mucha información y guardan registro de la lógica complicada.
  • A veces se inventan reglas generales para explicar cómo funciona algo al resumir observaciones; pero hay tendencia a generalizar, creyendo que se pueden formular estas reglas basándose en unas cuantas observaciones.
  • Las personas usan una lógica incorrecta cuando hacen un razonamiento como "Sí A es cierto, entonces B es cierto, pero A no es cierto, de modo que tampoco B es cierto."
  • Un solo ejemplo nunca demuestra que algo siempre sea cierto, pero un sólo ejemplo sí basta para demostrar que algo no siempre es cierto.
  • Una analogía tiene ciertas semejanzas, pero también ciertas diferencias con el objeto real.
Del tercer grado de enseñanza media al tercer grado de enseñanza media superiorContenido del Capítulo

En la lógica formal, para transferir la destreza a casos del mundo real, se requiere una gran práctica; los alumnos deben criticar con regularidad lo que se afirma en los medios de comunicación, en particular los noticiarios, editoriales, cartas al editor y anuncios, evaluando la calidad de los argumentos que se exponen. Los alumnos deben ser capaces de identificar las premisas, explícitas o no, la lógica y la evidencia empleadas para después evaluar la afirmación. También deben ser capaces de indicar dónde se usa algo que no sea un argumento sólido para convencer al lector, escucha o espectador. En la historia se pueden encontrar casos documentados del empleo, a gran escala, de buena y mala lógica.

Al terminar el tercer grado de enseñanza media superior los alumnos deben saber que:

  • Para convencer, un argumento debe contar con afirmaciones ciertas y relaciones válidas entre ellas. La lógica formal se refiere en su mayor parte a las relaciones entre las afirmaciones, y no a su certidumbre. En ocasiones las personas emplean lógica deficiente, aun cuando comiencen con proposiciones verdaderas; a veces emplean una lógica que comienza con afirmaciones falsas.
  • La lógica requiere que haya una distinción clara entre las razones: una razón puede ser suficiente para llegar al resultado, pero quizá no sea el único modo de llegar a él; o bien, una razón puede ser necesaria para llegar al resultado, pero puede no ser suficiente por sí misma; algunas razones son suficientes y necesarias a la vez.
  • Siempre que se origina una regla general se puede emplear la lógica para probar lo bien que funciona. Es más fácil probar que una generalización es falsa (tan sólo basta una excepción) que demostrar que es cierta (para todos los casos posibles). La lógica ayudará poco a determinar soluciones a problemas si uno no está seguro de que las reglas generales se apliquen o que la información particular sea correcta; con mayor frecuencia se deben manejar probabilidades, más que certidumbres.
  • Cuando una persona cree en una regla general, es probable que tome nota de casos que concuerden con ésta e ignore otros que no son acordes. En los estudios científicos, para evitar observaciones prejuiciadas, o sesgadas. a veces se usan observadores que no conocen cuáles "deben ser" los resultados.
  • Se pueden elaborar argumentos lógicos muy complejos con gran cantidad de pasos lógicos pequeños. Las computadoras se adaptan especialmente para trabajar con lógica compleja, pero no pueden resolver todos los problemas lógicos; las de alta velocidad pueden examinar la validez de algunas proposiciones lógicas en una cantidad inmensa de datos, aunque quizás no sea una demostración perfecta.

 

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