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2. LA
NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS
| Las
matemáticas dependen tanto de la lógica como de la creatividad, y están regidas
por diversos propósitos prácticos y por su interés intrínseco. Para algunas personas,
y no sólo para los matemáticos profesionales, la esencia de esta disciplina se
encuentra en su belleza y en su reto intelectual Para otros, incluidos muchos
científicos e ingenieros, su valor principal estriba en la forma en que se aplican
a su propio trabajo. Ya que las matemáticas juegan ese papel central en la cultura
moderna, es indispensable una comprensión básica de ellas en la formación científica.
Para lograr esto, los estudiantes deben percatarse de que las matemáticas forman
parte del quehacer científico, comprender la naturaleza del pensamiento matemático
familiarizarse con las ideas y habilidades de esta disciplina.
CIENCIA: CONOCIMIENTO PARA TODOS | ||
Al igual que la ciencia de patrones y relaciones, las matemáticas comparten muchas de las características de otras ciencias, como ya se describió en el Capítulo 1. Las similitudes particularmente relevantes son la creencia en el orden subyacente, los ideales de honestidad y de claridad en el informe de investigación, la importancia de la crítica de los nuevos trabajos, y el papel esencial que juega la imaginación. Las matemáticas también se parecen a la ciencia y a la tecnología en que incorporan tanto la búsqueda de respuestas a preguntas básicas como la solución de problemas prácticos.
La riqueza y la ubicuidad de las matemáticas se destaca en el Proyecto 2061. Una clave de acceso al Proyecto es evidente tanto en Ciencia: Conocimiento para todos como en Avances en el Conocimiento Científico. En ambas obras, el Capitulo 2 señala lo que los estudiantes deben saber como un esfuerzo único; el Capítulo 9 recomienda qué ideas matemáticas deberán adquirir; el Capítulo 11 presenta algunos conceptos matemáticos importantes, como la escala y los modelos, que son muy útiles como instrumentos analíticos, y el Capítulo 12 enlista las habilidades matemáticas, científicas y tecnológicas, que necesitan para manejar eficazmente los asuntos prácticos del quehacer cotidiano. Por supuesto, el plan de estudio no separaría el conocimiento teórico del práctico de esa manera.
En realidad, es en el diseño del plan de estudio donde se hallará la otra clave de acceso al Proyecto 2061 para las matemáticas. Como se describirá de manera completa en el informe Designs for Science Literacy, casi todos los elementos de un plan de estudio del Proyecto 2061 incluirán las matemáticas. Los estudiantes las encontrarán en todos los niveles, las aprenderán y las percibirán implícitas y explícitas en muchas materias-temas y en el contexto del mundo real.
El Universo está conformado por galaxias, montañas, criaturas, vehículos, etc., cada una aparentemente única. Además, es una cuestión caótica en la que esas cosas se entrelazan de muchas maneras, a menudo violentamente, pero a veces con gran sutileza. Sin embargo, gracias a las matemáticas, las personas pueden pensar en el mundo de los objetos y los sucesos, y comunicar esas ideas en formas tales que revelen unidad y orden.
Los números, líneas, ángulos, formas, dimensiones, promedios, probabilidades, proporciones, operaciones, ciclos, correlaciones, etc., que conforman el mundo de las matemáticas, permiten hallar el sentido de un universo que de otra manera podría parecer totalmente complicado. Durante siglos se han desarrollado y refinado los patrones y relaciones matemáticas, y el proceso es hoy tan vigoroso y productivo como en cualquier tiempo en la historia, quizá sea porque las matemáticas actuales se utilizan en más áreas que antes, y también porque se han vuelto esenciales en la vida cotidiana.
Para los fines de la cultura científica general, es importante para los estudiantes: 1. entender en qué sentido las matemáticas son el estudio de patrones y relaciones; 2. familiarizarse con algunos de esos patrones y relaciones, y 3. aprender a usarlos en la vida diaria. Los dos últimos conceptos se estudian más conjuntamente que en secuencia. No se ha comprobado que sea eficaz el aprendizaje abstracto de las matemáticas antes de intentar ponerlas en práctica. De esta forma, el plan de estudio deberá adaptar la instrucción de tal manera que los estudiantes encuentren cualquier patrón o relación matemática en muchos contextos diferentes: antes, durante y después de su introducción a las matemáticas mismas. En lo sucesivo, con el fin de lograr la meta de la comprensión de la naturaleza de las matemáticas, los estudiantes deberán tener una oportunidad en las matemáticas para reflexionar sobre la naturaleza de los patrones y relaciones de una manera puramente abstracta. Los archivos de ejemplos, individuales o de grupo, de los patrones y relaciones recabados al paso del tiempo, pueden utilizarse como materia prima para reflexionar sobre cómo las matemáticas definen un patrón o relación de tal forma que trascienda y sea más poderoso que las instancias individuales.
Generalmente, las ideas individuales, creadas y utilizadas por los matemáticos, se han conjuntado a menudo por razones pedagógicas, así como por las estrictamente conceptuales, en familias como la aritmética, geometría, álgebra, trigonometría, estadística y cálculo. Los matemáticos buscan patrones y relaciones que unan ideas diferentes (patrones y relaciones) dentro de tales familias y entre las aisladas. Pocos logros en matemáticas son tan gratificantes como mostrar que lo que anteriormente se creía como dos partes separadas de las matemáticas son paralelas, o ejemplos diferentes de una formulación única, más abstracta. Si fuera posible, todos los estudiantes deberían tener la experiencia de descubrir por sí mismos que una idea puede representarse en formas diferentes pero análogas.
Un método de investigación sobre cómo aprende la gente destaca la utilidad de hacer representaciones múltiples de la misma idea y de cambiar de una a otra. Cuando un estudiante comienza a representar una relación en tablas, gráficas, símbolos y palabras, se puede confiar en que realmente ha comprendido su significado. Y, como reza la teoría, la manera en que los estudiantes aprenden a hacer esas representaciones y translaciones es viéndolas y practicándolas en contextos en los que se preocupen por saber cuál es la respuesta. Los alumnos comprometidos con este tipo de actividad, obtendrán finalmente la idea de la conectividad en matemáticas -aunque ocasionalmente revisen su propio trabajo y reconozcan las múltiples conexiones que lograron.
Del
nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elemental
Los alumnos de los primeros grados piensan de manera concreta. Tienen poco interés en las materias como las matemáticas, la ciencia y la tecnología, pero regularmente responden de manera positiva al reto de aprender y manejar números, identificando formas y patrones sencillos, recabando, creando y describiendo cosas. En algún momento, obviamente, necesitan discernir entre los diversos tipos de ideas y actividades: unas matemáticas, otras científicas, y algunas más tecnológicas. Pero cuando esto ocurre, es menos importante que si desde el inicio los niños estudien números, formas y operaciones simples y que trabajen con tantos y diferentes contextos como sea posible.
Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
Si una estrategia básica para aprender acerca de la naturaleza de las matemáticas es reflexionar sobre cosas ya aprendidas en diversos contextos, una posibilidad seria tener una lista en el salón de clases con el encabezado "Qué podemos hacer en las matemáticas", a la cual podrían agregarse nuevos temas mes con mes. De vez en cuando, los temas podrían agruparse o mostrar que son subgrupos de otros, o que son similares a aquellos en otras listas llamadas "Qué hacemos en la ciencia" y "Qué hacemos en el lenguaje". Si no se han de considerar diferencias de una materia, una alternativa seria utilizar "Números que hemos usado", "Formas que hemos usado (o realizado)", "Observaciones que hemos hecho", y así sucesivamente.
Las listas de matemáticas podrían, por ejemplo, primero incluir cuenta, medición, estimado y ver forma en las cosas; después suma, resta, etc.; posteriormente, los estudiantes podrían agrupar suma, resta, etc., con hacer operaciones con números, y conjuntar hacer gráficas, desplegar datos, y comparar dos grupos de datos con analizar datos. La medición tendría que incluirse en las listas de matemáticas y de ciencia, como la mayoría de las partidas de datos, y demostrar los enlaces. Los temas como buscar patrones, describir relaciones y dar razones aparecerían en la lista de lenguaje así como en las otras listas. De esta forma. los estudiantes construirían su propio inventario de matemáticas y tendrían una historia de lo que estuvieran aprendiendo; así, los alumnos de reciente ingreso tendrían una idea de qué conceptos (lenguaje) se esperaría de ellos.
Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
En los primeros grados los alumnos estudiaron patrones matemáticos y sus relaciones y, con optimismo, en otras clases también. Hasta ahora, deben haber acumulado experiencia en la elaboración de tablas de datos, gráficas, bosquejos geométricos, y usarlos junto con símbolos y un lenguaje claro, para describir una amplia variedad de patrones y relaciones. Por tanto, están preparados para concentrarse más intensamente que antes en la solución creativa de problemas matemáticos, y para empezar a desarrollar un sentido de cómo los matemáticos realizan su trabajo.
Los estudiantes comienzan por reflexionar sobre qué hacen en matemáticas; deberán proponer en equipo soluciones a problemas y compararlas entre sí, defendiendo y analizando las diferencias. Deberá motivarse a los grupos para que inventen algunos métodos propios para hacer cálculos. Por ejemplo, cuando se obtiene un resultado podría ser el reconocimiento de que funciona el método utilizado. Sin embargo, otros grupos podrían desarrollar cuestionamientos acerca de cuál método es el mejor -experimentando, por ende, algo del debate generado a lo largo de la historia por los desacuerdos sobre abstracciones matemáticas. Las investigaciones de los conjuntos de datos deberán permitir a los equipos hallar relaciones diferentes o hasta contradictorias. Los alumnos también pueden empezar a inventar sus propios problemas y percatarse de cómo difieren de aquellos que otros estudiantes encuentran interesantes.
Para muchos alumnos, las matemáticas más "elegantes" podrían parecer las más complicadas. Es necesaria la repetición para establecer que la manera más sencilla de representar y relacionar las ideas es, a menudo, lo que más valoran los matemáticos. No obstante, una conexión matemática sencilla pudo haberse hallado por medio de un estudio muy confuso y prolongado, lo cual puede incluir pasar de una parte del problema a otra, y algunas veces llegar a ninguna respuesta.
Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:
Regularmente, no existe un modo único para resolver un problema matemático; los métodos diferentes tienen ventajas y desventajas diversas.
Del
tercer grado de enseñanza media al tercer grado de enseñanza media superior
Además de reflexionar sobre la experiencia personal para resolver problemas, los estudios de casos de cómo se han hecho los avances en matemáticas pueden utilizarse para presentar algunas de las características principales de cómo funcionan y los tipos de patrones y relaciones que han resultado de la investigación. Los alumnos pueden, ocasionalmente, descubrir las matemáticas por ellos mismos, y aunque probablemente tales descubrimientos no sean novedosos, se tendrá que trabajar mucho para lograr que se convierta en un talento para las matemáticas. Comprender la naturaleza de las matemáticas actuales, que aún siguen comprometidas con la elucidación de nuevos patrones y relaciones, es un desafío para casi todos los estudiantes. Las matemáticas teóricas modernas pueden ser sugeridas por el tipo de problemas prácticos que ayuden a resolver -el coloreado de mapas, la optimización de las rutas aéreas, y la recuperación del detalle a partir de imágenes borrosas-. Si los estudiantes creen que quizá las abstracciones relevantes para una situación práctica sean idóneas para otras, hacer la transición pedagógica de lo aplicado a lo abstracto no puede debilitar el concepto de que el interés del matemático es teórico.
Al terminar el tercer grado de enseñanza media superior los alumnos deben saber que:
B.
Matemáticas, ciencia y tecnología
Gran parte de las matemáticas se hace debido a su interés intrínseco, sin importar su utilidad. No obstante, la mayor parte sí tienen aplicaciones, y mucho del trabajo es provocado por los problemas aplicados. La ciencia y la tecnología aportan una gran parte de tales aplicaciones. Al hacer su trabajo, los científicos e ingenieros tratan de hacer algunas matemáticas útiles o pueden recurrir a los matemáticos para su ayuda, que puede ser sugerir algunas matemáticas ya aceptadas o desarrollar otras para hacer el trabajo. Por un lado, han surgido notables descubrimientos para encontrar nuevas aplicaciones para las matemáticas más antiguas. Por otro, las necesidades de las ciencias naturales o de la tecnología a menudo han llevado a la formulación de nuevas matemáticas.
Del nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elemental
En los grados iniciales, los estudiantes hacen observaciones, coleccionan y ordenan cosas, usando herramientas y otros objetos para manipularlos. Están, dentro de su nivel, haciendo ciencia y utilizando la tecnología. En la práctica escolar, la ciencia y la tecnología habrán de contribuir al entendimiento del valor de las matemáticas, y éstas deberán ayudar para hacer ciencia e ingeniería. Para los estudiantes será comprensible la utilidad de las matemáticas en la ciencia y en la tecnología si la experimentan con frecuencia.
Del
tercero al quinto grados de enseñanza elemental
La interacción deberá volverse más frecuente y más sofisticada al pasar los estudiantes del nivel elemental y medio a grados superiores. La diagramación, la elaboración de tablas y el trazo de escalas deberán convertirse en práctica común en la investigación estudiantil y en los proyectos de diseño, así como en el uso de conceptos geométricos y matemáticos tales como la perpendicular, el perímetro, volumen, potencias, raíces y números negativos. Los problemas que se utilicen para desafiar a los estudiantes pueden tomar la forma de concursos y juegos, y por lo menos algunos deberán derivarse directamente de la ciencia y tecnología en estudio.
Sin apuntes para este nivel.
Del
sexto grado de enseñanza elemental al segundo grado de enseñanza media
La ciencia y la tecnología son contextos ricos y especialmente importantes con los cuales se aprende el valor de las matemáticas y se desarrollan habilidades para la resolución de problemas matemáticos, pero no son los únicos: artes, música, estudios sociales, historia, educación física y deportes, educación vial, economía doméstica, etc., son temas apropiados para aprender, así como para usar las matemáticas.
Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:
Las matemáticas son útiles en casi todo tipo de esfuerzo humano - desde colocar ladrillos hasta prescribir un medicamento o dibujar un rostro-. En particular, las matemáticas han contribuido al progreso de la ciencia y la tecnología por miles de años y lo siguen haciendo.
Del
tercer grado de enseñanza media al tercer grado de enseñanza media superior
En este apartado se expondrá a los alumnos ejemplos históricos sobre cómo las matemáticas han contribuido al avance de la ciencia y la tecnología -y viceversa-. Los ejemplos son tan numerosos que no existe problema alguno en encontrar los que se relacionen con las matemáticas que se estén estudiando. En algún momento, deberá ponerse especial atención al uso de modelos matemáticos tanto en la ciencia como en la tecnología. Igualmente, el plan de estudios necesita dar oportunidades para que los estudiantes examinen explícitamente la relación de las matemáticas con la ciencia y la tecnología.
Al terminar el tercer grado de enseñanza media superior los alumnos deben saber que:
¿Qué es lo que hacen exactamente los investigadores matemáticos? La mayoría de las personas tienen alguna somera idea de cuáles son sus actividades, ya que las encuentran personal o indirectamente en libros, películas o televisión. Sin embargo, tienen poca oportunidad de observarlos trabajando o de pedirles explicación de su trabajo. Es importante para los estudiantes aprender a resolver ciertos tipos de problemas matemáticos bien definidos, pero eso no significa que automáticamente lleguen a un amplio entendimiento sobre cómo se realiza el proceso de las investigaciones.
Las matemáticas pueden caracterizarse como un ciclo de investigación que tiene como propósito conducir al desarrollo de ideas matemáticas válidas. Ese es el enfoque adoptado en Ciencia: Conocimiento para todos y en esta sección de Avances. (Una parte del mismo tema se contempla en el Capítulo 11, en el que se considera el uso de modelos matemáticos junto con los modelos físicos y conceptuales.)
Es esencial tener en mente que el descubrimiento matemático no es el resultado de un rígido conjunto de pasos como lo es el descubrimiento en ciencia. Es cierto que las investigaciones matemáticas tarde o temprano implican ciertos procesos, pero el orden no es estático y el énfasis puesto en cada uno varía enormemente. Cada una de las tres partes del ciclo -representación, manejo y validación- deben estudiarse en su propio derecho como parte de lo que constituye aprender matemáticas. Los estudiantes deben tener la oportunidad de utilizar el ciclo completo en el desarrollo de sus propias investigaciones matemáticas. La finalidad de esta experiencia no es producir matemáticos profesionales, sino adultos familiarizados con dicha investigación.
Cada parte del ciclo conlleva algunas dificultades de aprendizaje. El proceso de representar algo por un símbolo o expresión es considerado por muchos estudiantes para referirse sólo a "cosas reales". "Dejemos que A sea el área del suelo de este cuarto" es más fácil de aceptar para los jóvenes estudiantes que "Dejemos que y iguale al área de cualquier rectángulo". En primer lugar, los estudiantes tienen que estar convencidos de que vale la pena el esfuerzo de sustituir los símbolos abstractos por cantidades reales. Después necesitan llegar a la comprensión de que utilizar símbolos para representar abstracciones, y abstracciones de las abstracciones, también paga con creces en la solución de problemas. Quizá esto signifique que perciban que en el mundo de las matemáticas, los números, formas, operaciones, símbolos, y los símbolos que condensan conjuntos de símbolos, son tan "reales" como los bloques, las vacas y los dólares.
En cuanto al manejo, existen dos condiciones que pueden parecer contradictorias: Una es que siempre existe un conjunto de reglas a las cuales uno debe apegarse estrictamente; la otra, que las reglas pueden crearse. Ahí es donde se encuentran el rigor y el espíritu de competir en un juego; imaginar algunas cantidades, asignarles propiedades, seleccionar algunas operaciones, representar todo con símbolos, definir un problema y, después, seguir las reglas de lógica que se han adoptado, cambiar los símbolos para ver qué soluciones aparecen.
Pero, ¿qué tan buenas son las soluciones? Depende -y eso es lo que los estudiantes pueden tener como problema para entender-. Están acostumbrados a trabajar problemas matemáticos en los que los procedimientos están predeterminados y las respuestas "correctas", esperadas. Pero en las investigaciones matemáticas reales, una buena solución es la que resulta en nuevos descubrimientos matemáticos o que lleva a resultados prácticos en ciencia, medicina, ingeniería, comercio o en cualquier área. Así que la validación en matemáticas es un asunto de juicio, no de autoridad. Donde una solución es menos que satisfactoria, puede tener tanto que ver con el sentido de qué es lo suficientemente bueno o cómo se formuló el problema, así como de qué manera se llevó a cabo.
Del
nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elemental
Habrán de utilizarse de manera rutinaria objetos concretos para ayudar a los niños a descubrir y explicar las relaciones simbólicas. Los estudiantes deben comprender que los números y las formas pueden utilizarse para describir muchas cosas en el mundo que los rodea. Eventualmente, deberán asimilar que así como las letras y palabras conforman un lenguaje en la lectura y escritura, los números y las formas conforman un lenguaje en matemáticas.
Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
Los números y las formas pueden usarse para comentar acerca de las cosas.
Del
tercero al quinto grados de enseñanza elemental
El uso rutinario de objetos concretos sigue siendo esencial para ayudar a los estudiantes a relacionar las cosas y los hechos reales con sus representaciones abstractas. La capacidad mental para figurar y hacer cosas aumentará por la frecuente referencia a aplicaciones en el mundo real. Deberá animárseles a describir matemáticamente todo tipo de cosas -en términos de números, formas y operaciones.
Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
Del
sexto grado de enseñanza elemental al segundo grado de enseñanza media
Los estudiantes deben empezar a asignar letras con nombres provisionales de los objetos -matemáticos o no- con la finalidad de analizarlos cuando no se conozca otro nombre. Gradualmente, la noción de un símbolo que representa un desconocido particular puede extenderse a su representación de cualquiera de una colección de desconocidos posibles. Indudablemente, los estudiantes a menudo tendrán que volver a las ideas concretas mientras aprenden nuevas matemáticas.
Los alumnos deben examinar las limitaciones de algunos modelos matemáticos para la descripción y predicción de sucesos en el mundo real. (Los resúltalos desalentadores del modelo matemático pueden deberse a la variación real impredecible, así como al uso de un modelo matemático inadecuado). Deberá estimulares a los jóvenes a exponer sus propios criterios sobre lo que es un resultado satisfactorio, y discutir sus juicios en relación con sus propósitos.
Debe minimizarse la superficialidad de los problemas, en vista de que no siempre existe una respuesta completamente correcta y que las mejoras y alternativas pueden hacerse mediante el ciclo matemático de ensayo, evaluación y revisión. Deberá trazarse una distinción entre los errores (como la multiplicación imperfecta) y las opciones razonables que resultan desafortunadas (y pueden reconsiderarse).
Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:
En caso de que los estudiantes no capten la idea de que siempre existe un mejor modelo matemático para cualquier problema científico o tecnológico, habrán de darse oportunidades en las cuales más de una descripción matemática parezca igualmente apropiada. El ciclo matemático del razonamiento puede considerarse primero explícitamente, haciendo que los alumnos revisen la solución de los problemas antes -y después, llamando su atención siempre que se presenten nuevos problemas-. La imagen de algunas matemáticas como un luego" hecho con reglas arbitrarias, deberá incluir la idea de que la jugada se escoge con la meta de que los resultados serán interesantes y ampliamente aplicables. Las reglas del juego no deberán ser contradictorias -por lo menos no en cualquiera de las aplicaciones intentadas.
Al terminar el tercer grado de enseñanza media superior los alumnos deben saber que:
Algo del trabajo en matemáticas se parece más a un juego -los matemáticos eligen un interesante conjunto de reglas y después juegan según esas reglas para ver qué puede suceder-. Mientras más interesantes sean los resultados, mejor. El único limite para el conjunto de reglas es que no deberán contradecirse entre sí.
Gran parte del trabajo de los matemáticos implica un ciclo de diseño de modelos que consiste en tres pasos: 1. usar abstracciones para representar cosas o ideas; 2. manejar las abstracciones de acuerdo con algunas reglas lógicas. y 3. verificar qué tan bien los resultados se asemejan a las cosas o ideas originales. Si la semejanza no se considera suficientemente buena, se puede comenzar una nueva ronda de abstracción y manejo. El pensamiento real no necesita pasar por estos procesos en orden lógico, sino que puede cambiar de uno a otro en cualquier orden.
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