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| Algunos
temas importantes penetran la ciencia, las matemáticas y la tecnología y aparecen
una y otra vez, ya sea que se esté estudiando una civilización antigua, el cuerpo
humano o un cometa. Son ideas que trascienden los límites disciplinarios y se
revelan fructíferas en explicación, teoría, observación y diseño. CIENCIA:CONOCIMIENTO
PARA TODOS | ||
Uno de los componentes esenciales del razonamiento elevado es la capacidad de imaginar un todo en términos de sus partes, y también, las partes en términos de cómo se relacionan entre sí con el todo. Las personas acostumbran hablar de sistemas políticos, de drenaje, de transporte, del sistema respiratorio, del sistema solar, etc. Si se les presiona, es probable que digan que un sistema es un conjunto de cosas y procesos, y con frecuencia de gente, que interactúan para llevar a cabo alguna función. La idea científica de un sistema implica una atención detallada sobre lo que entra y sale y las interacciones entre los componentes de éste. Si todo ello se puede especificar cuantitativamente se podrá elaborar una simulación computarizada del sistema para estudiar su comportamiento teórico, y tener una manera de definir problemas e investigar fenómenos complejos. Sin embargo, un sistema no necesita tener un "objeto" como, por ejemplo, un ecosistema o el sistema solar; se puede imaginar lo que incluya un sistema en cualquier forma que sea interesante o útil.
Los alumnos de los grados elementales estudian tipos distintos
de sistemas en el acontecer normal de las cosas, pero no se les debe presionar
para que hablen explícitamente sobre los sistemas, ya que eso se debe tratar
durante la enseñanza media y media superior.
Los niños
tienden a pensar que las propiedades de un sistema pertenecen a sus partes individuales,
y no que son consecuencia de la interacción de las partes, por consiguiente,
es un concepto difícil. Con frecuencia también creen que un sistema
sólo es algo que se elabora, y por tanto se define por sí solo.
Este concepto es distinto de la perspectiva científica que señala
que los sistemas se diseñan mentalmente para fines determinados. Por ejemplo,
el sistema Solar se puede definir sólo en términos del Sol y los
planetas o incluir también las lunas planetarias y los cometas solares.
Igualmente, un automóvil no es un sistema en si, sino que se puede imaginar
un sistema automotriz que comprende también a las gasolineras, los pozos
petroleros, plantaciones de hule, seguros, leyes de tráfico, deshuesaderos,
etcétera.
La meta principal para lograr que los alumnos aprendan acerca de los sistemas no es que hablen de ellos en términos abstractos, sino ampliar su capacidad (e inclinación) para considerar diversos aspectos de los sistemas particulares y tratar de comprender o manejar al sistema total. El alumno, localiza fallas de un aparato descompuesto teniendo en cuenta conexiones e interruptores, use o no los términos alimentación, salida o controles ? ¿Trata de explicar qué es el potencial de las entradas en el ciclo del agua, aunque no use el término conservación? El vocabulario los ayudará una vez que hayan tenido una gran diversidad de experiencias con el concepto de los sistemas, pero si no es así, pueden tener la impresión errónea de haberlos comprendido. En ciertos casos, aprender acerca de los sistemas puede no aplicarse en otros, de modo que los sistemas se deben encontrar mediante una variedad de situaciones, que incluye el diseño y la localización de fallas. Los sistemas sencillos, como un lápiz o una ratonera, se deben manejar antes que los más complicados como un estéreo, una planta, la fabricación continua, los ecosistemas o el gobierno escolar.
Una idea errónea que persiste entre los alumnos es que las propiedades de un conjunto son las propiedades de sus partes; por ejemplo, piensan que los materiales suaves están formados por moléculas suaves, lo que sólo a veces es cierto, o que una organización política conservadora puede estar integrada en su totalidad por individuos conservadores; pero algunas propiedades de los sistemas son distintas de cualesquiera de sus partes. El azúcar es dulce, pero no los átomos de carbono, oxigeno e hidrógeno que la forman. La propiedad del sistema puede ser el resultado de lo que son sus partes, pero éstas pueden no tener esa propiedad; un gran ejemplo es la vida como una propiedad que surge de la interacción compleja de moléculas complejas.
Del
nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elemental
En los grados elementales, los alumnos adquieren las experiencias que utilizarán
de los grados intermedios en adelante, para desarrollar la comprensión
de los conceptos de sistemas y sus aplicaciones. También pueden comenzar
a fijarse en lo que afecta a determinado objeto. Las discusiones frecuentes del
modo en que una cosa afecta a otra es la base para reconocer las interacciones.
Otro punto que se debe enfocar en la interacción es preguntar cuándo
funcionan bien las cosas y cuándo no, cuál es la causa, por ejemplo,
de la falta de una fuente de energía, pilas o gasolina, etcétera.
Los alumnos deben identificar una y otra vez las partes de las cosas, y cl modo
en que una parte se conecta y afecta a otra. En los salones de clase puede haber
diversos objetos desarmables como trenes de engranajes, vehículos y animales
de juguete, al igual que los cubos, muñecas y casas de muñecas.
Los alumnos deben predecir los efectos que ocasionan al quitarles o cambiarles
partes.
Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
Debe aumentar la experiencia práctica con varios sistemas mecánicos.
En las clases puede haber áreas de "desarmado" en donde se puedan
desarmar diversos aparatos comunes y quizá volverlos a armar, y también
herramientas de mano.
Pueden obtener aparatos que normalmente vienen desarmados, junto con sus instrucciones de armado, y así subrayar la trascendencia del arreglo adecuado de las partes e, incidentalmente, la importancia de la destreza en el lenguaje y en las artes, que se necesitan para leer y seguir las instrucciones.
Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
En esta etapa se puede explicar el razonamiento en términos de sistemas,
sugiriendo el análisis de las partes, los subsistemas, las interacciones
y la coincidencia; sin embargo, las descripciones de las partes y su interacción
son más importantes que tan sólo decir que algo es un sistema.
Las actividades de los alumnos deben centrarse en el análisis, diseño,
armado y localización de fallas de sistemas que sean mecánicos,
eléctricos y biológicos y que tengan componentes fáciles
de diferenciar. Los alumnos pueden desarmar y volver a armar objetos como bicicletas,
relojes y juguetes mecánicos, y construir circuitos eléctricos con
baterías que hagan funcionar un objeto. Pueden armar un buen sistema para
observar después cómo el cambio de diversos componentes lo afecta,
u observar acuarios y jardines y cambiar o agregar algunas de sus partes. Se debe
ampliar la idea de sistema para abarcar las relaciones entre varios de ellos;
por ejemplo, un abrelatas y una lata se deben imaginar como un sistema, pero ambos,
junto con la persona que los usa, forman un sistema mayor sin el cual ninguno
de ellos puede funcionar para lo que fue hecho.
Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:
Los alumnos deben tener oportunidades para asistir a seminarios, actividades, lecturas y experimentos y reflexionar sobre el valor de pensar en términos de sistemas, y de aplicar el concepto en diversos casos. Con frecuencia deben discutir qué propiedades de un sistema son iguales a las de sus partes, y qué propiedades surgen por interacciones de éstas o tan sólo por la cantidad de partes. Deben aprender que la retroalimentación es una fase normal de los sistemas. Las definiciones de retroalimentación positiva y negativa podrían ser muy sutiles, pero los alumnos están en posibilidad de comprender que la retroalimentación se puede oponer a cambios que suceden y que ello proporciona estabilidad, o bien, que puede originar más cambio y, en consecuencia, impulsar al sistema hacia uno u otro extremo. Al final, deben entender cómo un retraso en la retroalimentación puede producir ciclos en el comportamiento de un sistema.
Al terminar el tercer grado
de enseñanza media superior los alumnos deben saber que:
Los modelos físicos, matemáticos y conceptuales son medios para aprender las cosas a las que deben asemejarse. Los modelos físicos son los más obvios para los niños, de modo que se deben usar para presentarles el concepto de modelo. Las muñecas, los animales disecados, los coches y aviones de juguete, así como otros objetos cotidianos pueden estimular el análisis sobre sus semejanzas y diferencias de las cosas reales. Es probable que en los primeros grados, el término modelo sólo se deba usar para indicar modelos físicos, pero lo más importante es el concepto de semejanza para usar cualquier tipo de modelo.
La utilidad de los modelos conceptuales depende de la capacidad de los alumnos para imaginarse que algo que no comprenden es, en cierto sentido, igual que algo que sí entienden. Las imágenes, imitaciones y analogías son, por sí mismas, partes de la ciencia como la lógica deductiva, y también entran en las ciencias como en las artes y en las humanidades. Sin embargo, no se debe esperar que los alumnos se adiestren en el empleo de modelos conceptuales hasta que conozcan bien los materiales, cosas y procesos en el mundo accesible que los rodea, mediante la experiencia directa. Por consiguiente, el énfasis del plan de estudios se debe dar en una gran variedad de experiencias y no en generalizaciones acerca de modelos conceptuales; además, los alumnos necesitan conocer imágenes e ideas que provienen de dibujos, pinturas, esculturas, música, comedia, relatos y lectura, participación en juegos y deportes, en trabajos y en general de las vivencias.
Por su naturaleza, los modelos matemáticos son casi siempre más abstractos que los físicos y los conceptuales. Se podría fortalecer mucho la relación entre las matemáticas y los asuntos concretos y con ello su valor para el diseño de modelos, si se enseñaran las matemáticas como parte de las ciencias, las ciencias sociales, la tecnología, la salud, la gimnasia, la música y otros temas, y no sólo durante "la hora de matemáticas." Una de las desventajas al enseñar esta ciencia sólo como tema separado reside en que se enseña antes de que se identifiquen los problemas en el mundo real, de modo que los ejercicios tienen relación, en su mayor parte, con aprender los procedimientos, y no con resolver problemas que pueden resultar interesantes.
Del
nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elemental
Se deben aprovechar todas las oportunidades que se presenten para lograr que los alumnos hablen acerca de la relación entre sus juguetes y las cosas reales. Mientras más imaginativa sea la conversación, mejor, porque insistir en la exactitud en este nivel puede impedir el desarrollo de aptitudes más importantes.
Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
A medida que los alumnos van más allá de sus juegos naturales con los modelos, deben comenzar a modificarlos y a discutir sus limitaciones. ¿Qué sucede si se quitan las ruedas, si se agrega peso, si se usan distintos materiales o si se moja el modelo?, ¿es lo que les sucedería a las cosas reales? También, los alumnos pueden comenzar a comparar sus objetos, dibujos y construcciones con las cosas que representan o se asemejan, como osos reales, casas, aviones, etc. Como están conociendo la geometría, las gráficas y otros conceptos matemáticos, al mismo tiempo deben reflexionar acerca de cómo se relacionan esas representaciones con la naturaleza, Igualmente, lo que aprendan en artes y humanidades puede proporcionar analogías. Los alumnos pueden comenzar a formular sus propios modelos para explicar cosas que no pueden observar directamente, y al probarlos y cambiarlos a medida que adquieren más información, comenzarán a comprender cómo funciona la ciencia.
Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
En esta etapa, los alumnos pueden manejar los modelos y sus aplicaciones en forma mucho más expedita, porque tienen un mayor conocimiento general de las matemáticas, la literatura, el arte y los objetos y procesos que los rodean. También el empleo de computadoras debe haber progresado para ir más allá del procesamiento de palabras y entrar a graficación y simulaciones que calculan y presentan los resultados que produce el cambio de los factores en el modelo. Todo esto dará una idea a los alumnos de qué son los modelos y cómo se pueden comparar, considerando sus consecuencias. Deben tener, además, muchas oportunidades para aprender el empleo de modelos conceptuales que los motiven a cuestionar temas interesantes, por ejemplo, ¿cómo sería la atmósfera si sus moléculas actuaran como bolas de malvavisco diminutas y veloces, en lugar de bolas de acero con las mismas características?
También el empleo de modelos físicos puede aumentar en complejidad; los alumnos deben descubrir que los modelos físicos en pequeña escala pueden ser inadecuados debido a su proporción. Con el cambio de escala hay factores que se alteran más que otros y por ello las cosas ya no funcionan igual. Por ejemplo, la resistencia del agua alrededor de un modelo de lancha es muy diferente a los efectos que ejerce sobre un bote de tamaño normal.
Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:
En los grados superiores se debe enfatizar sobre el modelo matemático, porque representa la naturaleza y el poder de los modelos y proporciona un contexto para integrar conocimientos de muchas otras áreas. La meta principal debe ser que los alumnos aprendan a crear y emplear los modelos en muchos y diversos contextos, y no que sólo reciten conceptos memorizados. La investigación en psicología del desarrollo indica que los estudiantes de educación media superior pueden comprender que todavía no se ha determinado el mejor modelo, o que diferentes personas prefieren distintos modelos mientras surgen más evidencias, pero no descartar que exista modelo "verdadero" alguno.
Al terminar el tercer grado de enseñanza media superior los alumnos deben saber que:
Gran parte de la ciencia y las matemáticas tiene que ver con la comprensión de cómo suceden los cambios en la naturaleza y en los sistemas sociales y tecnológicos; asimismo, la tecnología tiene relación con la creación y control del cambio. Con frecuencia, en el ámbito del cambio, la constancia también es tema de intensos estudios científicos. Lo más sencillo que se puede decir de algo es que no cambia. Como los científicos buscan siempre las explicaciones ciertas más simples, le dan atención a aquellas cosas que en algunos aspectos no cambian.
En realidad, historiadores y filósofos consideran que las leyes de la conservación de la física, como las de la masa, la energía o la carga eléctrica, se cuentan entre los más grandes descubrimientos científicos. Algunos aspectos de la constancia, de cierta forma distintos, se describen en términos de estabilidad, conservación, equilibrio, estado estable y simetría, y se interrelacionan en formas sutiles. No tiene mucha importancia memorizar las diversas acepciones de esas palabras; lo más importante es pensar y comprender lo que está sucediendo.
La simetría es otro tipo de constancia
o, más generalmente, de invariancia, englobada en el cambio. El equilibrio,
los estados estables y la conservación se pueden considerar como aspectos
de la simetría; no obstante, con más frecuencia la simetría
implica un comportamiento cuya apariencia permanece igual cuando sufre un cambio,
como rotación, reflexión, estiramiento o desplazamiento. La simetría
puede ser geométrica, por ejemplo, como en un orden social, un conjunto
de operaciones de cómputo o la clasificación de las partículas
atómicas.
Cuando suceden los cambios de una variable, un factor de
gran importancia es la rapidez de éstos. Es claro que los alumnos deben
formarse el concepto de una rapidez constante de cambio antes de que puedan considerar
el aumento o disminución de las tasas. Sin embargo, no es tan sencillo
comprender una tasa constante de cambio debido a la dificultad del mismo concepto
de tasa o rapidez.
Parece que las gráficas son de gran ayuda para las descripciones semicuantitativas del cambio, por ejemplo, si la rapidez es constante, si aumenta o disminuye, si se satura, etc. Sin embargo, los resultados de la investigación indican que, a menos que la gráfica tenga la altura real, las alturas y pendientes pueden confundir a la mayoría de los niños. La meta para todos debe ser modesta: comprender una gráfica de cualquier variable común en función del tiempo, en lo que respecta a leerla e interpretar sus altas y bajas cuando se describa lo que está sucediendo; al final, la pendiente y la dirección del cambio pueden incorporarse a esa descripción.
En general, el examen de la pauta del cambio implica dos escalas: de observaciones y de análisis. Una roca puede estar en el suelo sin cambiar, pero a una escala de distancia de 108 veces menor sus átomos están en movimiento caótico e ininterrumpido, y a una escala de 108 veces mayor el planeta donde está gira y sigue una órbita. Un sistema ecológico puede parecer estable durante algunos siglos, pero de un día para otro pueden entrar y salir individuos de él, y se transformará mucho a lo largo de millones de anos.
Las diferencias casi imperceptibles de lo que es hoy un sistema pueden producir otras mayores en el futuro. Esta idea no es difícil en los grados intermedios, lo más difícil es comprender que, independientemente de la pequeñez de la incertidumbre inicial, el comportamiento será, al final, impredecible. En el nivel mínimo, el de los átomos individuales, la incertidumbre es inevitable, por ello, el presente no determina al futuro. Por ejemplo, la predicción del clima a largo plazo puede ser imposible hoy, por principio y no sólo por los límites de la observación y el análisis.
Básicamente, no se debe enseñar el cambio como un tema aparte. En cualquier oportunidad se debe citar en el contexto de la ciencia, las matemáticas o la tecnología en estudio. El primer paso es animar a los niños a observarlo y describirlo. Sólo después de que adquieran un cúmulo de experiencias con los cambios de distintos tipos comenzarán a razonar, en forma abstracta, sobre las pautas del cambio. Cuando los alumnos tengan dicha experiencia, será conveniente reafirmar el conocimiento para ayudarlos a integrar las bases de las pautas del cambio en los sistemas físicos, biológicos, sociales y tecnológicos.
Del
nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elemental
Cuando juntan y observan las cosas que les rodean, los niños pueden buscar cuáles cambian y cuáles no cambian, y preguntar de dónde provienen estas y a dónde van. Pueden notar, por ejemplo, que la mayor parte de los animales se mueven de un lugar a otro, pero que las plantas se quedan en su lugar, o que el agua que reposa en un recipiente abierto desaparece gradualmente pero la arena no, etc. Esas actividades pueden aguzar la destreza de observación y comunicación de los niños y transmitirles un sentido, cada vez mayor, de que a través del tiempo suceden muchos y variados cambios. Se les debe estimular a tomar, anotar y presentar conteos y mediciones simples, para aprender y usar las matemáticas elementales. A fin de iniciar un progreso en las ideas de conservación, pueden ser útiles ejercicios de matemáticas en los que la suma permanece igual, por ejemplo, "¿de cuántos modos se pueden sumar números enteros para obtener 13?"
Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
Los alumnos pueden llegar a la comprensión de algunas nociones muy importantes sobre el cambio con mayor énfasis que antes hacia la medición, graficación y análisis de datos. En esta etapa es más importante familiarizarse con un conjunto grande y variado de ejemplos del cambio que recitar las generalizaciones que establecen los objetivos programáticos.
Las nociones de simetría pueden comenzar con la identificación de aquellos objetos cuya apariencia no cambia cuando se someten a modificaciones, como la rotación, la reflexión, el estiramiento o el desplazamiento. En general, a los niños les interesa mucho investigar las formas de las cosas, como las plantas y animales, ellos mismos, las casas, los vehículos, los juguetes, etc., para buscar regularidades de forma. Deben obtener muchas experiencias para discutir y representar toda suerte de cambios: los que continúan en la misma dirección, los que llegan a un valor alto o bajo, los que invierten su dirección en forma repetitiva, etcétera.
Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
La constancia en un sistema se puede representar en dos formas: como suma constante o como cambios que se compensan. Cuando lo que se considera es un conteo (por ejemplo, de alumnos o de aviones), entonces es obvia la constancia del total. Cuando lo que se considera es una medida en una escala continua y no una unidad en paquete, entonces el enunciado "viene de algún lugar y va hacia algún lugar" es un principio que se puede captar más directamente. Por ejemplo, parece más fácil considerar que el calor que pierde una parte de un sistema debe encontrarse en algún otro lugar, en lugar de decir que la medición total de todo el sistema debe permanecer constante. Esto se puede aplicar, particularmente, cuando la cantidad pueda tomar diversas formas interconvertibles, como las formas de energía o el valor monetario.
En esta etapa, los alumnos pueden buscar patrones más complicados, como las tasas de cambio y los comportamientos cíclicos. Se puede encontrar invariancia en el mismo cambio, como el del agua de un río, en el que el flujo puede ser constante o puede variar con las estaciones, pero el ciclo puede tener la misma duración año con año.
A los alumnos no se les dificulta entender el concepto de una serie de hechos repetitivos; sus vidas están llenas de estos hechos. La variación cíclica de una magnitud es más difícil. La longitud del ciclo es su propiedad más sencilla, mientras que la amplitud de la variación tiene poco interés, a menos que estén familiarizados con la variable o ésta les interese, por ejemplo, la variación de un grado en la temperatura corporal tiene gran importancia porque de ello depende que se queden en casa o vayan a la escuela, lo cual les puede interesar más que una variación diez veces mayor en la cantidad de casos de sarampión.
Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:
La estabilidad, como muchos conceptos en la ciencia, se debe considerar en un contexto de escala. En una escala natural de espacio y tiempo, una montaña podrá parecer estable durante siglos, sin embargo, a escala atómica la montaña es un caos continuo de movimiento, absorción y emisión de energía. En la escala de millones de años, las montañas se forman en las planicies y se erosionan. En sentido práctico, la estabilidad de un objeto o sistema sólo significa que para los fines actuales uno no percibe o no tiene que tomar en cuenta sus cambios.
En términos generales, quizás los conceptos más importantes que se deben manejar son las leyes de la conservación, las tasas de cambio y el cambio evolutivo. Es probable que el énfasis en las leyes de la conservación deba ser práctico, o sea que debe mostrar cómo esos conceptos condujeron y siguen llevando hacia progresos en la ciencia. Los casos históricos que se estudien pueden contribuir a esta idea. Las graduaciones tasas) de cambio que son casi constantes o que son promediables, posibilitan diversos cálculos prácticos. No se necesita calcular las tasas de cambio, pero se pueden identificar en gráficas y se pueden bosquejar. El caso en el que la tasa de cambio es proporcional a cuanto ya existe, como en el crecimiento de la población o la disminución radiactiva, tiene mucha importancia.
El cambio evolutivo es un concepto general, del cual la evolución bológica es sólo una parte. Hay otro punto de vista que es más filosófico: aunque la evolución es el tipo de cambio que se origina en el pasado y es influido por éste parece que el pasado no determina totalmente al futuro.
En esta obra se incluyen dos argumentos principales del indeterminismo: el de la incertidumbre en el mundo submicroscópico y el de la incertidumbre adicional que se debe a la complejidad de los sistemas y a su sensibilidad hacia diferencias de las condiciones inconmensurablemente pequeñas. Estos argumentos no son fáciles de captar, pero cuando menos se debe dar oportunidad a que los alumnos los analicen entre sí. Muchos de ellos pueden obtener autoconfianza al saber que los científicos no aseguran predecir el futuro con detalle ni que la naturaleza es un sistema mecánico en el que todo suceso está predeterminado.
Al
terminar el tercer grado de enseñanza media superior los alumnos deben
saber que:
En la naturaleza, la mayor parte de las variables como tamaño, distancia, peso, temperatura, etc., muestran diferencias inmensas de magnitud. A medida que aumenta la complejidad, los alumnos deben encontrarse con relaciones cada vez mayores entre los límites superior e inferiores de esas variables. Pero eso sólo es el inicio de la idea de los cambios de escala. El concepto más amplio es que puede cambiarse la manera en que funcionan las cosas cuando cambia la escala. Los diversos aspectos de la naturaleza se modifican con distinta rapidez cuando cambia la escala, y por consiguiente, también varían las relaciones entre ellos. El ejemplo que se muestra con más claridad es cuando algo cambia de tamaño, su volumen crece en desproporción con su área, así, las propiedades que dependen del volumen, como masa y capacidad calorífica, aumentan con mas rapidez que las que dependen del área, como la resistencia de los huesos y la superficie de enfriamiento. Por consiguiente, un recipiente grande de agua se enfría con mayor lentitud que uno pequeño; un animal grande debe tener piernas proporcionalmente más gruesas que las de un animal pequeño aun cuando tengan la misma forma.
Otra consecuencia del cambio desproporcionado de las propiedades es que algunas "leyes" en la ciencia, como la de la dependencia entre fricción y velocidad, sólo son válidas en ciertas circunstancias. Pueden aparecer fenómenos nuevos, y a veces sorprendentes, cuando los valores de una variable son extremadamente grandes o pequeños. Por ejemplo, una estrella con masa muchas veces mayor que la del Sol puede terminar aplastándose bajo su propia gravedad y convertirse en un agujero negro, del cual ni siquiera la luz puede salir.
Para examinar la variación de las cosas al cambiar la escala se necesita cierto conocimiento de los limites de los valores y saber expresarlos en números que tengan algún sentido. Por ello, los niños deben comenzar a darse cuenta de los extremos de variables conocidas y de cómo son las cosas en esos extremos, por ejemplo, "el mayor", "el menor", "el más rápido" y "el más lento", "lo gigantesco" y, en general, "lo superlativo". En todos los casos se les debe presentar la escala de manera explícita sólo cuando tengan experiencia relacionada con magnitudes y los efectos que sufran al cambiarlas.
El intervalo de números que entienden y manejan las personas aumenta con su edad. Los niños no pueden captar el significado de la notación exponencial. Se ha sugerido que en realidad la gente no puede comprender los límites mayores de 1 000 a 1. Se puede imaginar que un metro es mil milímetros que se pueden ver en una regla de un metro, y que un kilómetro son mil metros, porque se pueden correr en pocos minutos; pero no es fácil imaginar que un kilómetro sea un millón de milímetros. Sin embargo, un millón quiere decir mil miles, una vez captado el significado de mil. Los sentidos de escala de importancia especial en las ciencias son el inconmensurable cosmos, las infinitésimas moléculas y la gran antigüedad de la Tierra y de la vida en ella.
Del nivel preescolar al segundo grado de enseñanza elemental
En este nivel, los alumnos no se sienten seguros al comparar magnitudes. Se debe dirigir su atención repetidamente hacia comparaciones sencillas en sus observaciones: ¿qué es menor o mayor?, ¿qué podría ser todavía menor o mayor?, ¿cuál es lo mayor o lo menor que se pueden imaginar? y ¿existen esas cosas? Se puede inducir la idea de cambios de escala mediante juegos que desafíen la imaginación, en los que intervenga la perspectiva, por ejemplo, "¿cómo crees que verías las cosas si fueras tan alto como una casa o tan pequeño como una hormiga?"
Al terminar el segundo grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
En esta etapa, los niños tienden a la fascinación por los extremos; tal interés se debe aprovechar para desarrollar su destreza matemática y su sentido de la escala. No manejan aún las matemáticas lo suficiente para entender las relaciones y las diferencias entre relaciones, pero pueden comenzar la base de la observación y la familiaridad al hablar de ellas. Como mínimo, los alumnos pueden comparar velocidades, tamaños, distancias, etc., imaginando que son fracciones o múltiplos una de otra.
Es el momento en que los alumnos deben construir estructuras y otras cosas parecidas en sus actividades tecnológicas para ayudarlos a comprender las relaciones matemáticas y técnicas entre longitud, área y volumen. Se les puede desafiar a que midan cosas difíciles, por ser demasiado pequeñas o muy grandes, demasiado ligeras o excesivamente pesadas.
Al terminar el quinto grado de enseñanza elemental los alumnos deben saber que:
Al mejorar la familiaridad de los alumnos con los números mayores y menores, con las relaciones y las potencias de diez, será más claro el significado de los extremos de escala. Ya puede explicares el empleo de relaciones, y las comparaciones de extremos mayores que 1010 pueden tener sentido para algunos alumnos. Deben emplearse representaciones alternas de grandes diferencias de escala, como la película Las potencias de diez de Charles Eames, y el ensayo clásico Del tamaño adecuado, de Haldane. En realidad, este ensayo puede muy bien servir como tema de un seminario o curso corto sobre la importancia del tamaño en la naturaleza y en la construcción.
El tema de la escala también se presta al empleo de simulación en computadora, en la que el usuario puede cambiar a voluntad las escalas y también el empleo de estadística elemental; se deberán representar grandes conjuntos de cosas mediante resúmenes, como promedios o ejemplos característicos. Se pueden aprender las potencias aproximadas de diez (o los órdenes de magnitud) en cuanto los alumnos manejen con facilidad estimados y aproximaciones. Este empleo de los exponentes para comparaciones no justifica la enseñanza, en general, de todo lo necesario para la notación exponencial.
Es más difícil comprender la noción de que las cosas funcionan en forma diferente a distintas escalas, que comprender la noción de los extremos y por consiguiente. los alumnos deben estudiar una diversidad de ejemplos, como las graduaciones de enfriamiento de recipientes de distintos tamaños llenos de agua, la resistencia de construcciones de tamaños distintos pero del mismo material o las características de vuelo de aeromodelos de distintas dimensiones.
Al terminar el segundo grado de enseñanza media los alumnos deben saber que:
La familiaridad con las potencias de diez puede facilitar la descripción de grandes diferencias de escala, pero no necesariamente las hará más comprensibles. Los alumnos pueden ligar su comprensión de la magnitud sólo con pocos factores de diez al mismo tiempo y quizá capten cada nuevo nivel sólo en función del anterior. Por ejemplo, una vez que se hayan familiarizado con un millón podrán tener mejor sentido de lo que significa decir que hay más de mil millones de galaxias y que cada una tiene más de mil millones de estrellas. Ahora la complejidad matemática puede abarcar la representación algebraica abstracta de los efectos de las potencias o las propiedades que aumentan de acuerdo con el cuadrado o el cubo de una dimensión lineal, y la relación entre esos aumentos. Pero lo más importante no es la relación exacta de x5 a x2, sino la idea más aproximada del cambio desproporcionado con la otra y que, por consiguiente, las relaciones cambian. Las cosas, los sistemas y los modelos que funcionan bien en una escala pueden funcionar menos, o no funcionar, si aumentan o disminuyen. Por ejemplo, una ameba de un metro de diámetro nunca podría obtener el alimento y oxigeno suficientes a través de su superficie para sobrevivir; un ave de un metro de longitud. con la forma de un gorrión, no podría volar.
Al terminar el tercer grado de enseñanza media superior los alumnos deben saber que:
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